Специфические свойства дифференциальных уравнений Гамильтона самым тесным образом связаны со свойствами определенных выражений, названных Пуанкаре ${ }^{1}$ интегральными инвариантами.
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=X_{1}, \quad \frac{d x_{2}}{d t}=X_{2}, \ldots, \frac{d x_{n}}{d t}=X_{n},
\]

где $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ суть заданные функции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t$. Мы можем их рассматривать как уравнения движения некоторой точки с координатами $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ в пространстве $n$ измерений.

${ }^{1}$ Acta Math., т. 13, 1890.

Многообразие такого рода точек, занимающих в начальный момент некоторую $p$-мерную область $\zeta_{0}$, будет и для всякого последующего момента времени занимать некоторую $p$-мерную область $\zeta$. Распространенный на область $\zeta p$-кратный интеграл называется интегральным инвариантом, если он сохраняет одинаковые значения для всякого момента времени $t$. Число $p$ называется порядком интегрального инварианта.

Так, например, при движении несжимаемой жидкости интеграл для объема жидкости, распространенный на все ее частицы, заполняющие в начальный момент определенную область, будет интегральным инвариантом, ибо состоящий из этих частиц объем жидкости не изменяется со временем.
Задача 1. Определить движение по инерции материальной точки на плоскости. Пусть $x, y$ – координаты этой точки, а $u$ и $v$ – компоненты ее скорости. Уравнения движения могут быть записаны в виде:
\[
\dot{x}=u, \quad \dot{y}=v, \quad \dot{u}=0, \quad \dot{v}=0 .
\]

Интеграл
\[
I=\int(\delta x-t \delta u),
\]

распространенный на отрезок кривой четырехмерного пространства $x, y, u, v$, представляющий собой геометрическое место всех точек, занимавших в начальный момент заданный отрезок кривой, в момент времени $t$ будет интегральным инвариантом. В самом деле, решение динамической задачи дается уравнениями:
\[
u=a, \quad v=b, \quad x=a t+c, \quad y=b t+d,
\]

где $a, b, c, d$ – постоянные интегрирования. Поэтому имеем:
\[
I=\int(t \delta a+\delta c-t \delta a)=\int \delta c,
\]
т. е. $I$ не зависит от $t$.

ЗАДАчА 2. Показать, что
\[
\int(u \delta x-x \delta u)
\]

есть интегральный инвариант для плоского движения материальной точки, имеющей координаты $x, y$, компоненты скорости $u, v$ и притягивающейся началом координат с силой, прямо пропорциональной расстоянию.