Как мы уже указывали в § 36 , решение задачи импульсивного движения не требует интегрирования дифференциальных уравнений и приводится, вообще говоря, к простым алгебраическим выкладкам. В приводимых ниже примерах рассматриваются различные случаи импульсивных движений твердых тел.
ЗАДАчА 1. Два однородных стержня $A B$ и $B C$ одинаковой длины $2 a$, связанные в $B$ идеально гладким шарниром, лежат в горизонтальной плоскости и образуют между собой прямой угол. Середине стержня $A B$ сообщается такой импульс, что оба стержня начинают двигаться как одно твердое тело. Определить направление этого импульса и показать, что скорости концов $A$ и $C$ относятся как $\sqrt{13}: 1$.

Не нарушая общности рассуждений, мы можем принять, что масса каждого стержня равна единице. Пусть $\dot{x}$ и $\dot{y}$ означают компоненты скорости точки $B$ относительно осей $O x$ и $O y$, параллельных исходным положениям стержней $B A$ и $B C$. Угловые скорости этих стержней обозначим через $\dot{\vartheta}$ и $\dot{\varphi}$. Тогда компоненты скорости середины стержня $A B$ суть $\dot{x}$ и $\dot{y}+a \dot{\vartheta}$, а компоненты скорости середины стержня $B C$ суть $\dot{x}-a \dot{\varphi}$ и $\dot{y}$. Отсюда для кинетической энергии системы получаем:
\[
T=\frac{1}{2} \dot{x}^{2}+\frac{1}{2}(\dot{y}+a \dot{\vartheta})^{2}+\frac{1}{6} a^{2} \dot{\vartheta}^{2}+\frac{1}{2}(\dot{x}-a \dot{\varphi})^{2}+\frac{1}{2} \dot{y}^{2}+\frac{1}{6} a^{2} \dot{\varphi}^{2} .
\]

Обозначим компоненты искомого импульса через $I_{1}$ и $I_{2}$. Точка, которой сообщен импульс, получает при бесконечно малом перемещении системы перемещения $\delta x$ и $\delta y+a \delta \vartheta$. Поэтому уравнения $\S 36$ дают:
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=I_{1}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{y}}=I_{2}, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}=I_{2} a, \quad \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=0
\]

или
\[
\begin{aligned}
I_{1} & =2 \dot{x}-a \dot{\varphi}, & I_{2} a & =a \dot{y}+\frac{4}{3} a^{2} \dot{\vartheta}, \\
I_{2} & =2 \dot{y}+a \dot{\vartheta}, & 0 & =-a \dot{x}+\frac{4}{3} a^{2} \dot{\varphi} .
\end{aligned}
\]

Из условия, что стержни движутся как одно твердое тело, вытекает, что $\dot{\vartheta}=\dot{\varphi}$. Поэтому полученные уравнения дают:
\[
\frac{1}{4} \dot{x}=\dot{y}=\frac{1}{3} a \dot{\vartheta}=\frac{1}{3} a \dot{\varphi}=\frac{1}{5} I_{1}=\frac{1}{5} I_{2} .
\]

Отсюда следует, что $I_{1}=I_{2}$, т. е. что импульс образует с $B A$ угол в $45^{\circ}$ : Так как компоненты скоростей точек $A$ и $C$ суть соответственно $\dot{x}, \dot{y}+2 a \dot{\vartheta}$ и $\dot{x}-2 a \dot{\varphi}, \dot{y}$, то точки $A$ и $C$ имеют скорости $\sqrt{65} \dot{y}$ и $\sqrt{5} \dot{y}$ которые относятся каг $\sqrt{13}: 1$.

ЗАдАчА 2. Параллелограмм образован двумя парами однородных стержней, связанных между собой идеальными шарнирами. Длины стержней равны $2 a$ и $2 b$, их массы $m$ и $m^{\prime}$, их радиусы инерции $k$ и $k^{\prime}$. Параллелограмм движется поступательно вдоль одной из своих диагоналей со скоростью $V$. Он ударяется о гладкую твердую стену, перпендикулярную к диагонали и образующую со сторонами углы $\vartheta$ и $\varphi$. Вершина параллелограмма, ударившаяся о стену, вследствие удара мгновенно останавливается. Показать, что величина импульса равна:
\[
2 V\left\{\left(m+m^{\prime}\right)^{-1}+\left(m k^{2}+m^{\prime} a^{2}\right)^{-1} a^{2} \cos ^{2} \vartheta+\left(m b^{2}+m^{\prime} k^{\prime 2}\right)^{-1} b^{2} \cos ^{2} \varphi\right\}^{-1} .
\]

Пусть $x$ и $y$ – координаты центра параллелограмма, где $x$ отмеряется перпендикулярно к стене. Кинетическая энергия системы есть:
\[
T=\left(m+m^{\prime}\right)\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)+\left(m k^{2}+m^{\prime} a^{2}\right) \dot{\vartheta}^{2}+\left(m b^{2}+m^{\prime} k^{\prime 2}\right) \dot{\varphi}^{2} .
\]

Ударившаяся вершина имеет абсциссу $x+a \cos \vartheta+b \sin \varphi$; поэтому при произвольном перемещении ( $\delta x, \delta y, \delta \vartheta, \delta \varphi$ ) ее перемещение вдоль оси $x$ равно $\delta x+a \cos \vartheta \delta \vartheta+b \cos \varphi \delta \varphi$. Отсюда, обозначая величину импульса через $I$, получим уравнения движения в виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}-\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}\right)_{0}=-I, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}-\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\vartheta}}\right)_{0}=-I a \cos \vartheta, \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}\right)_{0}=-I b \cos \varphi
\end{array}
\]

или
\[
\begin{aligned}
2\left(m+m^{\prime}\right)(\dot{x}-V) & =-I, \\
2\left(m k^{2}+m^{\prime} a^{2}\right) \dot{\vartheta} & =-I a \cos \vartheta, \\
2\left(m b^{2}+m^{\prime} k^{\prime 2}\right) \dot{\varphi} & =-I b \cos \varphi .
\end{aligned}
\]

Так как ударившаяся вершина имеет конечную скорость, равную нулю, то, кроме того,
\[
\dot{x}+a \dot{\vartheta} \cos \vartheta+b \dot{\varphi} \cos \varphi=0 .
\]

Исключение $\dot{x}, \dot{\vartheta}$ и $\dot{\varphi}$ из этих уравнений дает:
\[
V=I\left\{\frac{1}{2\left(m+m^{\prime}\right)}+\frac{a^{2} \cos ^{2} \vartheta}{2\left(m k^{2}+m^{\prime} a^{2}\right)}+\frac{b^{2} \cos ^{2} \varphi}{2\left(m b^{2}+m^{\prime} k^{\prime 2}\right)}\right\},
\]

чем и доказывается предложение.
В только что приведенном примере рассматривается случай внезапного торможения. Если какая-нибудь точка (или прямая) свободно движущегося тела внезапно удерживается и приводится в какое-нибудь заданное вынужденное движение, то это вызывает импульсивное изменение в движении тела. Это импульсивное изменение может быть определено из условия, что общий момент количества движения тела относительно любой оси, проходящей через удерживаемую точку (или относительно удерживаемой прямой), остается неизменным. Это условие вытекает из того обстоятельства, что рассматриваемый импульс не дает никакого момента относительно удерживаемой точки или прямой. ЗАДАчА 3. Однородный круглый диск вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг одного из своих диаметров. Точка $P$ окружности диска внезапно останавливается. Показать, что скорость центра непосредственно после торможения составляет $\frac{1}{5}$ скорости точки $P$ до торможения.

Пусть $m$ – масса диска, а $\alpha$ – угол между радиусом точки $P$ и неподвижным диаметром, вокруг которого диск вращался до торможения. Первоначальная скорость точки $P$ равна $c \omega \sin \alpha$, где $c$ – радиус диска. Первоначальный момент количества движения тела относительно оси, проходящей через точку $P$ параллельно первоначальной оси вращения, равен $\frac{1}{4} m c^{2} \omega$ и остается после торможения неизменным. Поэтому момент количества движения диска относительно касательной в точке $P$ имеет после торможения величину $\frac{1}{4} m c^{2} \omega \sin \alpha$. Но момент инерции диска относительно этой касательной равен $\frac{5}{4} m c^{2}$; поэтому угловая скорость вращения диска вокруг нее равна $\frac{1}{5} \omega \sin \alpha$. Следовательно, центр диска имеет скорость $\frac{1}{5} \omega c \sin \alpha$, что составляет $\frac{1}{5}$ первоначальной скорости точки $P$.

ЗАдАчА 4. Плоская пластинка массы $m$, имеющая форму параллелограмма, имеет в серединах двух параллельных сторон две гладкие цапфы. Материальная точка, масса которой также равна $m$, ударяется в одну из вершин параллелограмма и после удара остается в этой вершине. Показать, что реакция одной из цапф равна нулю.