Мы рассмотрим сейчас два типа циклических координат, наиболее часто встречаемых в динамических задачах.
1. Системы с интегралом количества движения. Пусть $q_1,q_2,\dots$, $q_n$ означают координаты какой-нибудь консервативной голономной системы с $n$ степенями свободы, а $T$ и $V$ — ее кинетическую и потенциальную энергии.

Уравнения движения этой системы суть:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}=-\frac{\partial V}{\partial q_r}(r=1,2,\dots ,n),$$

Допустим, что одна из координат, например $q_1$, является циклической и что она, кроме того, обладает тем свойством, что изменение ее на величину $l$, при сохранении значений остальных координат $q_2,q_3,\dots ,q_n$, соответствует поступательному перемещению всей системы на отрезок $l$ по какому-нибудь определенному направлению. Примем это направление за ось $x$ некоторой неподвижной прямоугольной системы координат. Так как координата $q_1$ циклическая, то мы имеем интеграл:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\text{ const. }$$

Выясним физический смысл этого интеграла.
Имеем:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}\sum m_i({\dot{x}}_i^2+{\dot{y}}_i^2+{\dot{z}}_i^2),$$

где суммирование распространено на все точки системы. Отсюда
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}& =\sum m_i({\dot{x}}_i\frac{\partial {\dot{x}}_i}{\partial {\dot{q}}_1}+{\dot{y}}_i\frac{\partial {\dot{y}}_i}{\partial {\dot{q}}_1}+{\dot{z}}_i\frac{\partial {\dot{z}}_i}{\partial {\dot{q}}_1})=\\ & =\sum m_i({\dot{x}}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_1}+{\dot{y}}_i\frac{\partial y_i}{\partial q_1}+{\dot{z}}_i\frac{\partial z_i}{\partial q_1})=\sum m_i{\dot{x}}_i\end{array}$$

так как в нашем случае
$$\frac{\partial x_i}{\partial q_1}=1,\frac{\partial y_i}{\partial q_1}=0,\frac{\partial z_i}{\partial q_1}=0.$$

Но согласно $\mathrm{\S }35$ величина $\sum m_i{\dot{x}}_i$ представляет слагающую по оси $x$ количества движения системы точек $m_i$; в этом и заключается физическое значение величины $\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}$.
Мы можем поэтому интеграл
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\text{ const }$$

истолковать следующим образом:
Если связи допускают поступательное перемещение системы как твердого тела в каком-нибудь определенном направлении и если при этом потенциальная энергия системы не изменяется (поступательное перемещение, очевидно, не отражается на зависимости кинетической энергии от скоростей и, следовательно, соответствующая координата является циклической), то слагаюшая количества движения по этому направлению есть величина постоянная.

Эта теорема называется теоремой о сохранении количества движения ${}^1$. Про системы, для которых она справедлива, говорят, что они допускают интеграл количества движения.
2. Системы с интегралом момента количества движения. Выберем снова систему с координатами $q_1,q_2,\dots ,q_n$ с кинетической энергией $T$ и с потенциальной энергией $V$. Кроме того, допустим, что координата $q_1$ — циклическая и обладает тем свойством, что изменению ее на величину $\alpha$, при сохранении значений остальных координат, соответствует вращение всей системы на угол $\alpha$ вокруг некоторой неподвижной в пространстве прямой.
Так как $q_1$ — циклическая координата, то имеет место интеграл
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\text{ const }$$

которому мы сейчас дадим физическое истолкование.
Имеем, как и прежде:
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\sum m_i({\dot{x}}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_1}+{\dot{y}}_i\frac{\partial y_i}{\partial q_1}+{\dot{z}}_i\frac{\partial z_i}{\partial q_1}),$$

где суммирование распространяется на все точки системы. Но, полагая
$$x_i=r_i\cos {\phi }_i,y_i=r_i\sin {\phi }_i,$$

будем иметь:
$$d{\phi }_i=d{q}_1,$$

так что
$$\frac{\partial x_i}{\partial q_1}\equiv \frac{\partial x_i}{\partial {\phi }_i}=-r_i\sin {\phi }_i=-y_i,\frac{\partial y_i}{\partial q_1}=\frac{\partial y_i}{\partial {\phi }_1}=r_i\cos {\phi }_i=x_i,\frac{\partial z_i}{\partial q_1}=0,$$

и, следовательно,
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\sum m_i(-{\dot{x}}_i{y}_i+{\dot{y}}_i{x}_i)$$

Если $r$ означает мгновенное расстояние некоторой точки массы $m$ от некоторой заданной прямой, а $\omega$ — угловую скорость вращения вокруг
${}^1$ Этот закон вытекает из примечания Ньютона (Principia, книга I, введение к разделу XI), что общий центр тяжести некоторого числа твердых тел, находящихся только под действием их взаимных притяжений, находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

нее, то произведение $m{r}^2\omega$ называется моментол количества движения точки относительно этой прямой.

Пусть движущаяся точка за интервал времени $dt$ переходит из положения $P$ в бесконечно близкое положение $P^{\prime }$. Тогда ее момент количества движения относительно произвольной прямой $OK$, проходящей через произвольно выбранную точку $O$, равен, очевидно, пределу дроби $\frac{m}{dt}\times$ на удвоенную площадь проекции треугольника $OP{P}^{\prime }$ на некоторую плоскость, перпендикулярную к $OK$.

Если $l,m,n$ суть направляющие косинусы прямой $OK$, а $\lambda ,\mu ,u-$ направляющие косинусы нормали к плоскости $OP{P}^{\prime }$, то момент количества движения относительно $OK$ равен произведению из $l\lambda +m\mu +nu$ на момент количества движения относительно нормали к плоскости $OP{P}^{\prime }$. Поэтому, если под $h_1,h_2,h_3$ понимать моменты количества движения точки относительно трех взаимно перпендикулярных осей $Oxyz$, то согласно вышесказанному момент количества движения относительно любой прямой, выходящей из $O$ и имеющей относительно Охуz направляющие косинусы $l,m,n$, равен:
$$l{h}_1+m{h}_2+n{h}_3.$$

Этот результат может быть выражен следующим образом:
Моменты количества движения относительно различных осей, проходяцих через одну точку, складываются по векторному закону.

Момент количества движения динамической системы относительно некоторой заданной оси определяется как сумма моментов количества движения отдельных точек системы относительно этой оси. В частности, момент количества движения системы точек $m_i$, с координатами $x_i,y_i,z_i$ относительно оси $z$ равен:
$$\sum _i{m}_i{r}_i^2\dot{\phi }$$

где
$$x_i=r_i\cos {\phi }_i,y_i=r_i\sin {\phi }_i,$$

и суммирование распространяется на все точки системы. Это выражение для момента количества движения может быть представлено в виде:
$$\sum _i{m}_i({\dot{y}}_i{x}_i-{\dot{x}}_i{y}_i).$$

Сравнение с уравнением (2) показывает, что момент количества движения рассматриваемой системы относительно оси $z$ равен $\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}$.

Поэтому из уравнения (1) вытекает, что момент количества движения системы относительно оси $z$ есть величина постоянная.

Отсюда следует:
Если связи допускают врацение системы каю твердого тела относительно некоторой оси и если при этом потенциальная энергия не изменяется, то момент количества движения системы относительно этой оси есть величина постоянная.

Эта теорема называется теоремой о сохранении момента количества движения ${}^1$.
ЗАдАчА 1. Некоторая система из $n$ свободных материальных точек движется под действием сил взаимного притяжения. Эти силы являются производными некоторого кинетического потенциала $V$, содержащего координаты и компоненты скоростей, так что уравнения движения имеют вид:
$$m_r{\ddot{x}}_r=\frac{\partial V}{\partial x_r}-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial V}{\partial {\dot{x}}_r}\right)\text{ и т. д. }$$

Показать, что эти уравнения допускают интегралы:
$$\begin{array}{c}\sum _r(m_r{\dot{x}}_r+\frac{\partial V}{\partial {\dot{x}}_r})=\text{ const, }\\ \sum _r(m_r{\dot{y}}_r+\frac{\partial V}{\partial {\dot{y}}_r})=\text{ const, }\\ \sum _r(m_r{\dot{z}}_r+\frac{\partial V}{\partial {\dot{z}}_r})=\text{ const, }\\ \sum _r\{m_r(y_r{\dot{z}}_r-z_r{\dot{y}}_r)+y_r\frac{\partial V}{\partial {\dot{z}}_r}-z_r\frac{\partial V}{\partial {\dot{y}}_r}\}=\text{ const, }\\ \sum _r\{m_r(z_r{\dot{x}}_r-x_r{\dot{z}}_r)+z_r\frac{\partial V}{\partial {\dot{x}}_r}-x_r\frac{\partial V}{\partial {\dot{z}}_r}\}=\text{ const, }\\ \sum _r\{m_r(x_r{\dot{y}}_r-y_r{\dot{x}}_r)+x_r\frac{\partial V}{\partial {\dot{y}}_r}-y_r\frac{\partial V}{\partial {\dot{x}}_r}\}=\text{ const. }\end{array}$$

Эти интегралы могут быть рассматриваемы как обобщения интегралов количества движения и моментов количества движения. (Levy).