Наиболее общий вид динамических систем, допускающих помимо интеграла энергии еще и другие интегралы, квадратичные относительно скоростей, до сих пор еще не найден. Согласно § 43 такого рода интегралами обладают все системы типа Лиувилля или приводящиеся к ним при помощи точечного преобразования. Кроме того, найдены еще другие более общие случаи ${ }^{1}$.
Задача 1. Пусть
\[
\varphi_{k l}\left(q_{k}\right) \quad(k, l=1,2, \ldots, n)
\]

означают $n^{2}$ функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, а
\[
\Phi=\sum_{k=1}^{n} \varphi_{k l} \Phi_{k l} \quad(l=1,2, \ldots, n)
\]

образованный из них детерминант. Показать, что если кинетическая энергия динамической системы может быть приведена к виду:
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\Phi}{\Phi_{k 1}} \dot{q}_{k}^{2}
\]

а потенциальная энергия равна нулю, то кроме интеграла энергии
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\Phi}{\Phi_{k 1}} \dot{q}_{k}^{2}=\alpha_{1}
\]

существуют $n-1$ квадратичных и однородных относительно скоростей интегралов:
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\Phi \Phi_{k l}}{\Phi_{k 1}^{2}} \dot{q}_{k}^{2}=\alpha_{l} \quad(l=2,3, \ldots, n),
\]

где $\alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{n}$ – произвольные постоянные, и решение задачи приводится к квадратурам. (Stäckel.)
${ }^{1}$ Cм. G. di. Pirro, Annali di Mat., т. 24, стр. 315, 1896.

ЗАДАчА 2. Уравнения движения динамической системы с двумя степенями свободы имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}\right)=0, \quad(r=1,2),
\]

где
\[
T=\frac{1}{2}\left(a \dot{q}_{1}^{2}+2 h \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+b \dot{q}_{2}^{2}\right),
\]

и $a, h, b$ означают произвольные функции координат $q_{1}, q_{2}$. Эта система допускает интеграл:
\[
a^{\prime} \dot{q}_{1}^{2}+2 h^{\prime} \dot{q}_{1} \dot{q}_{2}+b^{\prime} \dot{q}_{2}^{2}=\text { const, }
\]

квадратичный относительно $\dot{q}_{1}$ и $\dot{q}_{2}$ и отличный от интеграла энергии: здесь $a^{\prime}, h^{\prime}, b^{\prime}$ означают некоторые функции от координат.
Полагаем $a b-h^{2}=\Delta, a^{\prime} b^{\prime}-h^{\prime 2}=\Delta$ и
\[
T^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\frac{\Delta}{\Delta^{\prime}}\right)\left(a^{\prime} q_{1}^{2}+2 h^{\prime} q_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}+b^{\prime} q_{2}^{2}\right),
\]

где $q_{r}^{\prime}=\frac{d q_{r}}{d t^{\prime}}$. Показать, что уравнения:
\[
\frac{d}{d t^{\prime}}\left(\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{r}^{\prime}}\right)-\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{r}}=0, \quad(r=1,2)
\]

устанавливают ту же зависимость между координатами $q_{1}, q_{2}$, что и первоначальные уравнения, и что одна система уравнений может быть переведена в другую при помощи преобразования:
\[
\Delta d t=\Delta^{\prime} d t^{\prime} .
\]