Приведем теперь полученную в предыдущем параграфе систему двенадцатого порядка к системе восьмого порядка при помощи интеграла энергии и исключения узла.

Преобразуем переменные при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
q_{r}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}}, \quad p_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где
\[
\begin{aligned}
W & =p_{1}\left(q_{1}^{\prime} \cos q_{5}^{\prime}-q_{2}^{\prime} \cos q_{6}^{\prime} \sin q_{5}^{\prime}\right)+p_{2}\left(q_{1}^{\prime} \sin q_{5}^{\prime}+\right. \\
& \left.+q_{2}^{\prime} \cos q_{6}^{\prime} \cos q_{5}^{\prime}\right)+p_{3} q_{2}^{\prime} \sin q_{6}^{\prime}+p_{4}\left(q_{3}^{\prime} \cos q_{5}^{\prime}-q_{4}^{\prime} \cos q_{6}^{\prime} \sin q_{5}^{\prime}\right)+ \\
& +p_{5}\left(q_{3}^{\prime} \sin q_{5}^{\prime}+q_{4}^{\prime} \cos q_{6}^{\prime} \cos q_{5}^{\prime}\right)+p_{6} q_{4}^{\prime} \sin q_{6}^{\prime}
\end{aligned}
\]

Новым переменным можно придать следующее простое физическое истолкование:

Выберем кроме неподвижных осей Oxyz еще систему подвижных осей $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Ось $O x^{\prime}$ направим по линии узлов, т. е. прямой пересечения плоскости $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ с плоскостью трех тел, ось $O y^{\prime}$ – по перпендикуляру к $O x^{\prime}$ в плоскости трех тел и ось $O z^{\prime}$ – по нормали к этой плоскости. Тогда $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}$ будут координатами $m_{1}$ относительно осей, проходящих через $m_{3}$ параллельно осям $O x^{\prime}, O y^{\prime} ; q_{3}^{\prime}, q_{4}^{\prime}$ будут координатами $m_{2}$ относительно тех же осей; $q_{5}^{\prime}$ будет углом между $O x^{\prime}$ и $O x, q_{6}^{\prime}-$ углом между $O z^{\prime}$ и $O z ; p_{1}^{\prime}$ и $p_{2}^{\prime}$ будут компонентами количества движения $m_{1}$ относительно осей $O x^{\prime}, O y^{\prime} ; p_{3}^{\prime}, p_{4}^{\prime}$ будут компонентами количества движения $m_{2}$ относительно тех же осей, $p_{5}^{\prime}, p_{6}^{\prime}$ – моментами количества движения всей системы относительно осей $O z$ и $O x^{\prime}$.
Уравнениями движения в новых координатах (§138) будут:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, 6),
\]

где функция $H$, выраженная в новых переменных, имеет вид:
\[
\begin{aligned}
H & =\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left[{p_{1}^{\prime}}_{1}^{2}+{p^{\prime}}_{2}^{2}+\frac{1}{\left(q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}-q_{1}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right)^{2}}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+\right.\right.\right. \\
& \left.\left.\left.+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) q_{4}^{\prime} \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+\frac{p_{5}^{\prime} q_{4}^{\prime}}{\sin q_{6}^{\prime}}+p_{6}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right\}^{2}\right]+ \\
& +\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left[{p^{\prime}}_{3}^{2}+{p^{\prime}}_{4}^{2}+\frac{1}{\left(q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}-q_{1}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right)^{2}}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+\right.\right.\right. \\
& \left.\left.\left.+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) q_{2}^{\prime} \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+\frac{p_{5}^{\prime} q_{2}^{\prime}}{\sin q_{6}^{\prime}}+p_{6}^{\prime} q_{1}^{\prime}\right\}^{2}\right]+\frac{1}{m_{3}}\left[p_{1}^{\prime} p^{\prime}{ }_{3}+p^{\prime}{ }_{2} p_{4}^{\prime}-\right. \\
& -\frac{1}{\left(q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}-q_{1}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right)^{2}}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) q_{4}^{\prime} \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+\right. \\
& \left.+\frac{p_{5}^{\prime} q_{4}^{\prime}}{\sin q_{6}^{\prime}}+p_{6}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right\}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) q_{2}^{\prime} \operatorname{ctg}_{{ }^{\prime}}^{\prime}+\right. \\
& \left.\left.+\frac{p_{5}^{\prime} q_{2}^{\prime}}{\sin q_{6}^{\prime}}+p_{6}^{\prime} q_{1}^{\prime}\right\}\right]-m_{2} m_{3}\left(q_{3}^{\prime 2}+q_{4}^{\prime 2}\right)^{-\frac{1}{2}}-m_{3} m_{1}\left(q_{1}^{\prime 2}+q_{2}^{\prime 2}\right)^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{1} m_{2}\left\{\left(q_{1}^{\prime}-q_{3}^{\prime}\right)^{2}+\left(q_{2}^{\prime}-q_{4}^{\prime}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}
\]

Координата $q_{5}^{\prime}$, не входящая явно в $H$, является циклической. Ей соответствует интеграл:
\[
p_{5}^{\prime}=k,
\]

где $k$ – постоянная.
Уравнение $\frac{d q_{5}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial k}$ может быть проинтегрировано простой квадратурой, если выполнено интегрирование всех остальных уравнений. Следовательно, уравнения для $q_{5}^{\prime}$ и $p_{5}^{\prime}$ из системы выпадают, и она приводится к системе десятого порядка:
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2,3,4,5,6),
\]

где всюду в $H$ величина $p_{5}^{\prime}$ должна быть заменена постоянной $k$.
Мы использовали пока только один из интегралов моментов (а именно $p_{5}^{\prime}=k$ ) и исключение узла. Оба остальных интеграла моментов в новых переменных принимают вид:
\[
\begin{array}{r}
\left(p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}-p_{1}^{\prime} q_{2}+p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}-p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right) \frac{\sin q_{5}^{\prime}}{\sin q_{6}^{\prime}}+k \sin q_{5}^{\prime} \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+p_{6}^{\prime} \cos q_{5}^{\prime}=A_{1}, \\
-\left(p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}-p_{1}^{\prime} q_{2}+p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}-p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right) \frac{\cos q_{5}^{\prime}}{\sin q_{6}^{\prime}}+k \cos q_{5}^{\prime} \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+p_{6}^{\prime} \sin q_{5}^{\prime}=A_{2} .
\end{array}
\]

Значения постоянных $A_{1}, A_{2}$ зависят от положения неподвижных осей $O x y z$. Направим ось $O z$ по главному моменту количества движения системы. Тогда $A_{1}$ и $A_{2}$ обращаются в нуль (§69). Введенная таким образом плоскость $O x y$ называется неизменяемой плоскостью системы. Последние два уравнения переходят теперь в
\[
\begin{array}{c}
k \cos q_{6}^{\prime}=p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}-p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}+p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}-p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}, \\
p_{6}^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения определяют $q_{6}^{\prime}$ и $p_{6}^{\prime}$ как функции переменных и могут поэтому заменить уравнения:
\[
\frac{d q_{6}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{6}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{6}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{6}^{\prime}} .
\]

Система переходит, таким образом, в
\[
\frac{d q_{r}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}^{\prime}}, \quad \frac{d p_{r}^{\prime}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2,3,4),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H=\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left[{p^{\prime}}_{1}^{2}+{p^{\prime 2}}_{2}^{2}+\right. \\
\left.+\frac{q^{\prime 2}}{\left(q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}-q_{1}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right)^{2}}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+\frac{k}{\sin q_{6}^{\prime}}\right\}^{2}\right]+ \\
+\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left[{p^{\prime}}^{2}+{p^{\prime}}^{2}{ }^{2}+\right. \\
\left.+\frac{q_{2}^{\prime 2}}{\left(q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}-q_{1}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right)^{2}}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+\frac{k}{\sin q_{6}^{\prime}}\right\}^{2}\right]+ \\
+\frac{1}{m_{3}}\left[p^{\prime}{ }_{1} p^{\prime}{ }_{3}+p^{\prime}{ }_{2} p^{\prime}{ }_{4}-\right. \\
\left.-\frac{q_{2}^{\prime} q_{4}^{\prime}}{\left(q_{2}^{\prime} q_{3}^{\prime}-q_{1}^{\prime} q_{4}^{\prime}\right)^{2}}\left\{\left(p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}-p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}+p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime}-p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}\right) \operatorname{ctg} q_{6}^{\prime}+\frac{k}{\sin q_{6}^{\prime}}\right\}^{2}\right]- \\
-m_{2} m_{3}\left({q^{\prime}}_{3}^{2}+{q^{\prime}}_{4}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}-m_{3} m_{1}\left({q^{\prime}}_{1}^{2}+{q^{\prime}}_{2}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}- \\
-m_{1} m_{2}\left\{\left(q_{1}^{\prime}-q_{3}^{\prime}\right)^{2}+\left(q_{2}^{\prime}-q_{4}^{\prime}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Здесь $q_{6}^{\prime}$ должна быть заменена ее значением, определяемым из уравнения:
\[
k \cos q_{6}^{\prime}=p_{2}^{\prime} q_{1}^{\prime}-p_{1}^{\prime} q_{2}^{\prime}+p_{4}^{\prime} q_{3}^{\prime}-p_{3}^{\prime} q_{4}^{\prime},
\]

после того как взяты производные от $H$.
Обозначим через $H^{\prime}$ функцию, в которую переходит $H$ после замены в ней $q_{6}^{\prime}$ вышеуказанным значением. Тогда, если обозначим через $s$ одну из переменных $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, q_{3}^{\prime}, q_{4}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, p_{3}^{\prime}, p_{4}^{\prime}$, будем иметь:
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s}+\frac{\partial H}{\partial q_{6}^{\prime}} \frac{\partial q_{6}^{\prime}}{\partial s}
\]

Но так как $p_{6}^{\prime}=0$, то $\frac{\partial H}{\partial q_{6}^{\prime}}=p_{6}^{\prime}=0$ и, следовательно,
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial s}=\frac{\partial H}{\partial s}
\]

Другими словами: мы можем ввести в $H$ значение $q_{6}^{\prime}$ до того, как взяты производные от $H$. Поэтому, опуская вновь штрихи, мы приведем уравнения движения задачи трех тел к системе восьмого порядка:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2,3,4),
\]

где
\[
\begin{aligned}
H & =\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right)\left(p_{3}^{2}+p_{4}^{2}\right)+ \\
& +\frac{1}{m_{3}}\left(p_{1} p_{3}+p_{2} p_{4}\right)+ \\
& +\left(q_{2} q_{3}-q_{1} q_{4}\right)^{-2}\left\{\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right) q_{4}^{2}+\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right) q_{2}^{2}-\frac{q_{2} q_{4}}{m_{3}}\right\} \times \\
& \times\left\{k^{2}-\left(p_{2} q_{1}-p_{1} q_{2}+p_{4} q_{3}-p_{3} q_{4}\right)^{2}\right\}-m_{2} m_{3}\left(q_{3}^{2}+q_{4}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}- \\
& -m_{3} m_{1}\left(q_{1}^{2}+q_{2}^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}-m_{1} m_{2}\left\{\left(q_{1}-q_{3}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{4}\right)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Некоторые из величин, входящих в $H$, имеют простое физическое значение. Так, например, величина $q_{2} q_{3}-q_{1} q_{4}$ равна удвоенной площади треугольника, образованного телами. Далее,
\[
\frac{2 m_{1} m_{2} m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}\left\{\left(\frac{1}{2 m_{1}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right) q_{4}^{2}+\left(\frac{1}{2 m_{2}}+\frac{1}{2 m_{3}}\right) q_{2}^{2}-\frac{1}{m_{3}} q_{2} q_{4}\right\}
\]

есть момент инерции системы относительно прямой пересечения неизменяемой плоскости с плоскостью тел.

Заметим еще, что $H$ отличается от своего значения при $k=0$ только членами, не содержащими $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. Эти члены в $H$ мы можем рассматривать как составную часть потенциальной энергии. Следовательно, система отличается от системы с $k=0$ только значением потенциальной энергии. Легко показать, что при $k=0$ движение происходит в плоскости.