На основании принципа Гаусса-Герца Аппель получил общую форму дифференциальных уравнений динамики, охватывающих как голономные, так и неголономные системы ${ }^{1}$.

Рассмотрим произвольную динамическую систему. Пусть изменения координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ связаны неинтегрируемыми уравнениями:
\[
A_{1 k} d q_{1}+A_{2 k} d q_{2}+\cdots+A_{n k} d q_{n}+T_{k} d t=0 \quad(k=1,2, \ldots, m) .
\]

Само собою разумеется, таких уравнений для голономной системы не будет.

Обозначим через $S$ функцию $\sum_{k} m_{k}\left(\ddot{x}_{k}^{2}+\ddot{y}_{k}^{2}+\ddot{z}_{k}^{2}\right)$, где $m_{k}$ — масса той точки системы, которая в момент времени $t$ имеет прямоугольные координаты $x_{k}, y_{k}, z_{k}$. Из уравнений, определяющих положение материальной точки через координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, мы можем $S$ выразить в функции координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и их первых и вторых производных по времени. Кроме того, пользуясь уравнениями связей, можно $m$ из скоростей $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ представить в функции остальных. Соответствующие этим последним скоростям координаты обозначим через $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n-m}$. Дифференцированием этих соотношений величины $\ddot{q}_{1}, \ddot{q}_{2}, \ldots, \ddot{q}_{n}$ мы можем выразить в функциях от величины $\ddot{p}_{1}, \ddot{p}_{2}, \ldots, \ddot{p}_{n-m}, \dot{p}_{1}, \dot{p}_{2}, \ldots, \dot{p}_{n-m}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$. Следовательно, и $S$ выразится в функции от этих переменных.

Теперь малое перемещение, совместимое со связями, можно определить посредством изменений $\delta p_{1}, \delta p_{2}, \ldots, \delta p_{n-m}$ переменных $p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n-m}$. Пусть $\sum_{r=1}^{n-m} P_{r} \delta p_{r}$ представляет работу внешних сил при этом перемещении. Тогда как и в $\S 26$, имеем:
\[
\sum_{k} m_{k}\left(\ddot{x}_{k} \frac{\partial x_{k}}{\partial p_{r}}+\ddot{y}_{k} \frac{\partial y_{k}}{\partial p_{r}}+\ddot{z}_{k} \frac{\partial z_{k}}{\partial p_{r}}\right)=P_{r} .
\]

Пусть
\[
\delta x_{k}=\sum_{r=1}^{n-m} \pi_{r} \delta p_{r}
\]

будет уравнением, представляющим изменение переменной $x_{k}$ в функции от изменений $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n-m}$, где $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n-m}$ — известные функции координат. Уравнения этого типа, конечно, неинтегрируемы.
${ }^{1}$ Journ. f. Math., т. 121, стр. 310, 1900.

Отсюда получаем: $\frac{\partial x_{k}}{\partial p_{r}}=\pi_{r}$. Поэтому уравнение, представляющее $\dot{x}_{k}$ в функции от $\dot{p}_{1}, \dot{p}_{2}, \ldots, \dot{p}_{n-m}$ примет вид:
\[
\dot{x}_{k}=\sum_{r=1}^{n-m} \pi_{r} \dot{p}_{r}+\alpha,
\]

где $\alpha$ означает функцию координат. Дифференцирование этого равенства дает:
\[
\ddot{x}_{k}=\sum_{r=1}^{n-m} \pi_{r} \ddot{p}_{r}+\sum_{r=1}^{n-m} \frac{d \pi_{r}}{d t} \dot{p}_{r}+\frac{d \alpha}{d t},
\]

откуда следует:
\[
\frac{\partial \ddot{x}_{k}}{\partial \ddot{p}_{r}}=\pi_{r}=\frac{\partial x_{k}}{\partial p_{r}} .
\]

Поэтому
\[
\begin{aligned}
P_{r} & =\sum_{k} m_{k}\left(\ddot{x}_{k} \frac{\partial x_{k}}{\partial p_{r}}+\ddot{y}_{k} \frac{\partial y_{k}}{\partial p_{r}}+\ddot{z}_{k} \frac{\partial z_{k}}{\partial p_{r}}\right)= \\
& =\sum_{k} m_{k}\left(\ddot{x}_{k} \frac{\partial \ddot{x}_{k}}{\partial \ddot{p}_{r}}+\ddot{y}_{k} \frac{\partial \ddot{y}_{k}}{\partial \ddot{p}_{r}}+\ddot{z}_{k} \frac{\partial \ddot{z}_{k}}{\partial \ddot{p}_{r}}\right)=\frac{\partial S}{\partial \ddot{p}_{r}} .
\end{aligned}
\]

Итак, уравнения как голономной, так и неголономной динамической системы могут быть записаны в форме:
\[
\frac{\partial S}{\partial \ddot{p}_{r}}=P_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n-m),
\]

где $S$ означает функцию $\frac{1}{2} \sum m_{k}\left(\ddot{x}_{k}^{2}+\ddot{y}_{k}^{2}+\ddot{z}_{k}^{2}\right)$, а число координат $p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{n-m}$ равно числу степеней свободы системы ${ }^{1}$.

Очевидно, эта теорема имеет также место, если величины $p_{1}, \ldots$, $p_{n-m}$ будут не истинными координатами, а квазикоординатами.
Задача 1. Вывести из уравнений Аппеля уравнения
\[
\begin{array}{l}
A \dot{\omega}_{1}-(B-C) \omega_{2} \omega_{3}=L, \\
B \dot{\omega}_{2}-(C-A) \omega_{3} \omega_{1}=M, \\
C \dot{\omega}_{3}-(A-B) \omega_{1} \omega_{2}=N
\end{array}
\]

для движения твердого тела с одной закрепленной точкой. Здесь $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ компоненты угловой скорости тела в направлениях его главных осей инерции относительно точки опоры; $A, B, C$ — главные моменты инерции; $L, M, N$ моменты внешних сил относительно главных осей.