Импульсивное изменение движения при ударе двух свободных твердых тел проще всего определяется следующим образом.

Движение каждого отдельного тела до и после удара определяется шестью величинами (например, тремя компонентами скорости центра тяжести и тремя компонентами угловой скорости тела в относительном движении вокруг центра тяжести). Следовательно, для определения импульсивного изменения движения необходимо двенадцать уравнений. Шесть уравнений непосредственно получаются из условия, что момент количества движения каждого отдельного тела относительно любой прямой, проходящей через точку соприкосновения, остается неизменным (так как импульсивные силы приложены в этой точке). Одно уравнение дает условие, что количество движения системы в направлении нормали в точке соприкосновения остается неизменным (ибо нормальные компоненты импульсивных сил между обоими телами равны и противоположны). Еще одно уравнение можно получить из закона удара. Остальные четыре уравнения для абсолютно гладких тел могут быть получены из условия, что количества движения каждого тела в направлении любой касательной к их поверхностям в точке соприкосновения остаются неизменными (так как для гладких тел импульсы направлены по нормали). Напротив, для тел вполне и не вполне шероховатых условие сохранения количества движения в направлении касательной в точке соприкосновения дает только два уравнения. Для абсолютно шероховатых тел остальные два уравнения могут быть получены из условия, что после удара компонент относительной скорости тел в любом тангенциальном направлении равен нулю. Для не вполне шероховатых тел с коэффициентом трения, равным $\mu$, эти уравнения получатся из условий, что
$\alpha$ ) после удара компонент относительной скорости в любом тангенциальном направлении равен нулю, если необходимый для этого тангенциальный компонент импульса не превосходит $\mu$-кратной величины нормального компонента импульса;
$\beta$ ) если последнее условие не выполнено, то имеет место тангенциальный импульс, равный $\mu$-кратной величине нормального импульса между телами.

Таким образом, во всех случаях все необходимые двенадцать уравнений могут быть получены.

Этот же способ с небольшими изменениями можно применить также и тогда, когда движение происходит на плоскости или одно из тел закреплено неподвижно. Более подробно все эти выкладки разъясняются на следующих примерах.
ЗАДАчА 1. Абсолютно неупругий шар массы $M$ падает со скоростью $V$ на абсолютно шероховатый и неупругий клин, боковая поверхность которого наклонена под углом $\alpha$ относительно гладкой горизонтальной плоскости, на которой он покоится. Показать, что величина вертикального компонента скорости центра шара непосредственно после удара равна:
$$\frac{5(M+m)V{\sin }^2\alpha }{7M+2m+5m{\sin }^2\alpha }.$$

Пусть $U$ скорость клина после удара, $u$ — скорость шара, параллельная боковой поверхности клина относительно этой поверхности, $\omega$ — угловая скорость шара и $a$ — его радиус.

Теорема о сохранении количества движения по горизонтальному направлению дает:
$$m(u\cos \alpha -U)=MU.$$

Кинематическое условие в точке касания имеет вид:
$$a\omega =u.$$

Условие сохранения момента количества движения шара относительно точки соприкосновения выражается уравнением:
$$mVa\sin \alpha =\frac{2}{5}m{a}^2\omega +ma(u-U\cos \alpha ).$$

Исключая из полученных уравнений $\omega$ и $U$, получим:
$$u\sin \alpha =\frac{5(M+m)V{\sin }^2\alpha }{7M+2m+5m{\sin }^2\alpha }.$$

что и требовалось доказать.
ЗАДАчА 2. Шар радиуса $a$ вращается с угловой скоростью $\mathrm{\Omega }$ вокруг оси, образующей с вертикалью угол $\alpha$ и движущейся со скоростью $V$ в вертикальной плоскости, проходящей через ось в направлении, образующем угол $\alpha$ с горизонтом. При этом шар ударяется о горизонтальную абсолютно шероховатую плоскость, обладающую абсолютной упругостью в тангенциальном направлении. Определить угол между вертикальной плоскостью, содержащей новое направление движения, и прежней вертикальной плоскостью.

Выберем систему координат $Oxyz$ с наталом $O$ в тогю соприюосновения, с плоскостью $yOz$, совпадающей с первоначальной плоскостью движения, и с осью $Oz$, направленной по вертикали. Пусть ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$ означают компоненты угловой скорости шара относительно $Ox$ и $Oy$ после удара, а $M$ — его масса.

Приравнивая моменты количества движения относительно $Ox$ до и после удара, получим:
$$MaV\cos \alpha =\frac{7}{5}M{a}^2{\omega }_1$$

Делая то же самое и относительно оси $Oy$, получим:
$$\frac{2}{5}M{a}^2\mathrm{\Omega }\sin \alpha =\frac{7}{5}M{a}^2{\omega }_2.$$

Тогда тангенс угла между новой плоскостью движения и плоскостью $yOz$ равен (вследствие абсолютной шероховатости плоскости) $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ или
$$\frac{\frac{2}{5}M{a}^2\mathrm{\Omega }\sin \alpha }{MaV\cos \alpha }$$

или
$$\frac{2}{5}a\left(\frac{\mathrm{\Omega }}{V}\right)\mathrm{tg}\alpha .$$

ЗАДАчА 3. Абсолютно шероховатый круглый диск радиуса $c$ и массы $M$ ударяется о стержень массы $m$ и длины $2a$, который может свободно вращаться вокруг своей середины. Точка соприкосновения отстоит от середины стержня на расстоянии $b$. Центр диска движется в направлении, образующем со стержнем до удара угол $\alpha$, а после удара — угол $\beta$. Показать, что
$$2(3M{b}^2+m{a}^2)\mathrm{tg}\beta =3(em{a}^2-3M{b}^2)\mathrm{tg}\alpha .$$

Пусть $V$ — начальная скорость диска, $v$ — его конечная скорость, $\mathrm{\Omega }$ его конечная угловая скорость.
Так как в точке касания отсутствует скольжение, то
$$v\cos \beta +c\mathrm{\Omega }=0.$$

Если $\omega$ означает конечную угловую скорость стержня, а $I$ — нормальный импульс между диском и стержнем, то уравнением движения стержня будет
$$Ib=\frac{1}{3}m{a}^2\omega .$$

Уравнение импульсивного движения диска в направлении, перпендикулярном стержню, имеет вид:
$$M(v\sin \beta +V\sin \alpha )=I.$$

а из закона удара вытекает соотношение:
$$v\sin \beta +b\omega =eV\sin \alpha .$$

Равенство момента количества движения диска относительно точки соприкосновения до и после удара дает:
$$V\cos \alpha =v\cos \beta -\frac{1}{2}c\mathrm{\Omega }.$$

Исключая из полученных уравнений $v,\mathrm{\Omega },I$ и $\omega$, получим:
$$2\mathrm{tg}\beta (3M{b}^2+m{a}^2)=3\mathrm{tg}\alpha (me{a}^2-3M{b}^2),$$

что и требовалось доказать.

Задача 4. Круговой обруч, движущийся в собственной плоскости без вращения, ударяется о неподвижное шероховатое препятствие, имеющее форму прямого ребра. Центр обруча движется от удара со скоростью $V$ в направлении, образующем с ребром угол $\alpha$. Коэффициент трения равен $\mu$. Определить импульсивное изменение движения.

Пусть и и $v$ означают компоненты скорости центра обруча относительно ребра и перпендикуляра к нему после удара, $\omega$ — его угловую скорость, $M$ массу и $a$ — радиус. Приравнивая моменты количества движения относительно точки соприкосновения до и после удара, получим:
$$-M{a}^2\omega +Mau=MVa\cos \alpha .$$

Закон удара дает уравнение:
$$v=eV\sin \alpha .$$

Так как ребро шероховатое, то величина $u+a\omega$ после удара обращается в нуль, если только необходимая для этого импульсивная сила трения не превосходит $\mu$-кратной величины нормального импульса. В противном случае импульсивная сила трения равна $\mu$-кратной величине нормального импульса.
Пусть $F$ — импульсивная сила трения, а $R$ — нормальный импульс.

Тогда
$$M(u-V\cos \alpha )=-F,M(v+V\sin \alpha )=R,M{a}^2\omega =-aF.$$

Поэтому имеем:
$$R=M(1+e)V\sin \alpha ,$$

и если $u+a\omega =0$, то будем иметь:
$$F=\frac{1}{2}MV\cos \alpha .$$

Поэтому величина $u+a\omega$ после удара обратится в нуль, если
$$\mu ⩾\frac{\mathrm{ctg}\alpha }{2(1+e)},$$

если же $\mu$ этому неравенству не удовлетворяет, то будем иметь:
$$F=\mu M(1+e)V\sin \alpha .$$

Следовательно, при
$$\mu ⩾\frac{\mathrm{ctg}\alpha }{2(1+e)}$$

движение определяется уравнениями:
$$u=V\cos \alpha +a\omega ,v=eV\sin \alpha ,u+a\omega =0,$$

а при
$$\mu <\frac{\mathrm{ctg}\alpha }{2(1+e)}$$

уравнениями:
$$u=V\cos \alpha +a\omega ,v=eV\sin \alpha ,a\omega =-\mu (1+e)V\sin \alpha .$$