До сих пор нами было установлено только, что интегралы в принципе Гамильтона и наименьшего действия имеют стационарное значение для траектории по сравнению с соседними кривыми. Возникает вопрос, будут ли эти интегралы представлять maxima или minima?
Рассмотрим для действительной траектории некоторое число смежных кривых. Пусть они проходят через те же конечные точки и непрерывны, хотя могут иметь конечное число угловых точек. На кривой такого рода точка $\left(q_{1}, q_{2}+\delta q_{2}\right)$ пусть отвечает точке $\left(q_{1}, q_{2}\right)$ действительной траектории. Мы дальше часто будем заменять $\delta q_{2}$ через $\alpha \varphi$, где малая постоянная $\alpha$ характеризует порядок малости рассматриваемых выражений, а $\varphi$ – величина, исчезающая на границах интервала.
Разложение функции
\[
f\left(q_{1}, q_{2}+\alpha \varphi, q_{2}^{\prime}+\alpha \varphi^{\prime}\right)
\]
по возрастающим степеням $\alpha$ имеет вид:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, q_{2}^{\prime}\right)+\alpha\left(U_{0} \varphi+U_{1} \varphi^{\prime}\right)+\frac{1}{2} \alpha^{2}\left(U_{00} \varphi^{2}+2 U_{01} \varphi \varphi^{\prime}+U_{11} \varphi^{\prime 2}\right)+\ldots
\]
Обозначим в выражении
\[
\int f\left(q_{1}, q_{2}+\alpha \varphi, q_{2}^{\prime}+\alpha \varphi^{\prime}\right) d q_{1}
\]
члены, содержащие $\alpha$ линейно, через $\delta I$, члены, содержащие $\alpha^{2}$, через $\delta^{2} I$. В произвольной точке малого интервала интегрирования значение $\varphi^{\prime}$ велико по сравнению с $\varphi$. В самом деле, так как $\varphi$ исчезает на границах, то
\[
\varphi=\int_{P}^{R} \varphi^{\prime} d q_{1},
\]
где $P$ и $R$ означают граничные точки; если, следовательно, $\beta$ – наибольшее численное значение $\varphi^{\prime}$ между $P$ и $R$, то $\varphi$ не может превышать величины $\left(q_{1(R)}-q_{1(P)}\right) \beta$, и отношение $\varphi: \varphi^{\prime}$ уменьшением интервала может быть сделано бесконечно малым.
Если интервал достаточно мал, то в $\delta^{2} I$ преобладающим является член $\frac{1}{2} \int U_{11} \varphi^{\prime 2} d q_{1}$, знак которого совпадает со знаком $U_{11}$ (знак $d q_{1}$ предполагается положительным). Поэтому для малого интервала $I$ будет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли $U_{11}$ отрицательно или положительно. Но
\[
U_{11}=\frac{\partial^{2} f}{\partial{q^{\prime}}_{2}^{2}}=(h-\psi)^{\frac{1}{2}}\left(a_{11}+2 a_{12} q_{2}^{\prime}+a_{22}{q^{\prime}}_{2}^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}\right)
\]
положительно, так как кинетическая энергия есть определённая положительная форма и, следовательно, $a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}>0$. Итак, имеем: для малых областей действие на действительной траектории есть минимум.
Рассмотрим для действительной траектории некоторое число смежных кривых. Пусть они проходят через те же конечные точки и непрерывны, хотя могут иметь конечное число угловых точек. На кривой такого рода точка $\left(q_{1}, q_{2}+\delta q_{2}\right)$ пусть отвечает точке $\left(q_{1}, q_{2}\right)$ действительной траектории. Мы дальше часто будем заменять $\delta q_{2}$ через $\alpha \varphi$, где малая постоянная $\alpha$ характеризует порядок малости рассматриваемых выражений, а $\varphi$ – величина, исчезающая на границах интервала.
Разложение функции
\[
f\left(q_{1}, q_{2}+\alpha \varphi, q_{2}^{\prime}+\alpha \varphi^{\prime}\right)
\]
по возрастающим степеням $\alpha$ имеет вид:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, q_{2}^{\prime}\right)+\alpha\left(U_{0} \varphi+U_{1} \varphi^{\prime}\right)+\frac{1}{2} \alpha^{2}\left(U_{00} \varphi^{2}+2 U_{01} \varphi \varphi^{\prime}+U_{11} \varphi^{\prime 2}\right)+\ldots
\]
Обозначим в выражении
\[
\int f\left(q_{1}, q_{2}+\alpha \varphi, q_{2}^{\prime}+\alpha \varphi^{\prime}\right) d q_{1}
\]
члены, содержащие $\alpha$ линейно, через $\delta I$, члены, содержащие $\alpha^{2}$, через $\delta^{2} I$. В произвольной точке малого интервала интегрирования значение $\varphi^{\prime}$ велико по сравнению с $\varphi$. В самом деле, так как $\varphi$ исчезает на границах, то
\[
\varphi=\int_{P}^{R} \varphi^{\prime} d q_{1},
\]
где $P$ и $R$ означают граничные точки; если, следовательно, $\beta$ – наибольшее численное значение $\varphi^{\prime}$ между $P$ и $R$, то $\varphi$ не может превышать величины $\left(q_{1(R)}-q_{1(P)}\right) \beta$, и отношение $\varphi: \varphi^{\prime}$ уменьшением интервала может быть сделано бесконечно малым.
Если интервал достаточно мал, то в $\delta^{2} I$ преобладающим является член $\frac{1}{2} \int U_{11} \varphi^{\prime 2} d q_{1}$, знак которого совпадает со знаком $U_{11}$ (знак $d q_{1}$ предполагается положительным). Поэтому для малого интервала $I$ будет максимум или минимум, смотря по тому, будет ли $U_{11}$ отрицательно или положительно. Но
\[
U_{11}=\frac{\partial^{2} f}{\partial{q^{\prime}}_{2}^{2}}=(h-\psi)^{\frac{1}{2}}\left(a_{11}+2 a_{12} q_{2}^{\prime}+a_{22}{q^{\prime}}_{2}^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}\left(a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}\right)
\]
положительно, так как кинетическая энергия есть определённая положительная форма и, следовательно, $a_{11} a_{22}-a_{12}^{2}>0$. Итак, имеем: для малых областей действие на действительной траектории есть минимум.
Выберем теперь на траектории точку $A$ и рассмотрим вторую траекторию, проходящую через эту точку и составляющую с первой малый угол. Пусть обе траектории встречаются еще в точке $B$. Предельное положение точки $B$, при неограниченном уменьшении угла между траекториями, называется кинетическим фокусом точки $A$ первоначальной траектории, или точкой, сопряженной с $A$.
Покажем теперь, что и для конечной области действие будет минимум, если только на траектории конечная точка не лежит за точкой, сопряженной с начальной. Пусть снова $P$ и $Q$ – границы интервала. Мы видели, что если точка $Q$ близка к $P$, то величина $\delta^{2} I$ всегда положительна и порядка $\alpha^{2}$ по сравнению со значениями $I$ в точках $P$ и $Q$. Если мы, следовательно, будем все более и более удалять $Q$ от $P$, то, очевидно, $\delta^{2} I$ может в первый раз стать отрицательным тогда, когда $Q$ перейдет точку, в которой $\delta^{2} I$ может обратиться в нуль, при надлежащем выборе величины $\alpha \varphi$.
Итак, пусть $P B Q$ – отрезок действительной траектории и точка $Q$ есть первая точка, через которую можно провести смежную кривую $P H Q$, для которой $\delta^{2} I$ есть нуль. Покажем, что эта кривая сама есть траектория. Допустим обратное, что $P H Q$ не есть траектория. Соединим две ее близкие точки $A$ и $C$ траекторией $A D C$. Тогда интеграл, распространенный на кривую $A D C$, будет меньше, чем интеграл по кривой $A H C$, поэтому интеграл по кривой $P A D C Q$ меньше, чем интеграл по кривой $P H Q$, который по предположению равен интегралу, распространенному на $P B Q$. Следовательно, $\delta^{2} I$ на $P A D C Q$ отрицательно, и $Q$ не может быть первой точкой при продвижении от $P$, для которой $\delta^{2} I$ перестает быть положительным. Это противоречит доказанному. Следовательно, $P A H C Q$ есть траектория, а $Q$ – кинетический фокус $P$. Итак, действие есть минимум, если конечная точка интервала лежит на траектории перед кинетическим фокусом начальной точки.
Разберем теперь случай, когда кинетический фокус начальной точки на траектории лежит перед конечной точкой. Мы используем предыдущие обозначения. Начальная и конечная точки пусть будут $P$ и $R$. Выберем на кривой $P H Q$ и дуге $O R$ точки $E$ и $F$ настолько близкие, чтобы соединяющая их траектория $E G F$ давала минимум. Так как интеграл по $E G F$ меньше, чем интеграл, взятый по $E Q F$, то интеграл по $P E G F R$ должен быть меньше интеграла по $P E Q R$; последний равен интегралу по $P B Q R$, так как интегралы от $P$ и $Q$ совпадают. Поэтому интеграл по $P B Q R$ не есть минимум. Он, однако, и не максимум, так как интеграл, распространенный на любую часть этого интервала, есть минимум. Итак, если фокус начальной точки лежит перед конечной точкой интервала, то действие не будет ни максимумом, ни минимумом.
Простым примером, поясняющим результаты этого параграфа, является движение по инерции материальной точки на гладком шаре. Траекториями служат большие круги, и действие, распространенное на произвольную кривую (траекторию или нет), пропорционально длине пути. Кинетический фокус произвольной точки $A$ есть диаметрально противоположная точка в $A^{\prime}$ на шаре, так как два больших круга, проходящих через $A$, пересекаются только в $A^{\prime}$. Наша теорема приводит, таким образом, здесь к тому результату, что дуга большого круга, соединяющая две точки $A$ и $B$, тогда и только тогда является кратчайшим расстоянием, когда противоположный полюс $A^{\prime}$ точки $A$ не лежит на этой дуге, т. е. когда она меньше половины большого круга.
