Мы видели ${}^1$, что интегрирование уравнений движения динамической задачи, разрешимых в квадратурах, приводится в общем к преобразованию данной динамической системы к системе с меньшим числом степеней свободы. В настоящей главе мы излагаем общую теорию, лежащую в основании всех такого рода преобразований и поэтому всякого решения динамической задачи.

Основы этой теории заложены в знаменитом сочинении Гамильтона по оптике, представленном им в 1824 г. ${}^2$ Ирландской академии наук. Основные принципы, изложенные в этом сочинении, были затем распространены их автором и на область динамики.

Чтобы лучше проследить ход идей Гамильтона, остановимся несколько на той связи, которая существует между проблемами оптики и динамики. В настоящее время эта связь уже не имеет того значения, какое она имела во времена Гамильтона, когда корпускулярная теория света еще в значительной степени сохранялась в силе. Траектория светового луча, распространяющегося в оптически неоднородной, но изотропной среде с показателем преломления $\mu$, может быть определена на основании принципа Ферма ${}^3$, утверждающего, что для действительной траектории света между двумя заданными точками интеграл
$$\int \mu (x,y,z)ds$$

принимает стационарное значение по сравнению со всякой другой смежной кривой, проходящей через эти две точки. С другой стороны, действительная траектория свободной материальной точки массы 1 , движущейся в консервативном поле сил с потенциальной энергией $\phi (x,y,z)$, и при постоянной энергии, равной $h$, согласно принципу наименьшего действия ( $\mathrm{\S }100$ ) определяется тем, что для нее интеграл
$$\int \{h-\phi (x,y,z){\}}^{\frac{1}{2}}ds$$
${}^1$ См. гл. III, $\mathrm{\S }38-42$.
${}^2$ Trans. R. Irish. Acad., т. 15, стр. 69,1828 , т. 16, стр. $4,93,1830$; т. 17, стр. 1, 1837.
${}^3\mathrm{Cm}$. книгу автора «History of the Theories of Aether and Electricity», стр. $9-10$, и $102-103$.

принимает стационарное значение по сравнению со всякой другой смежной кривой, проходящей через те же начальную и конечную точки. Сравнивая эти два закона, мы видим, что траектории материальной точки в динамической задаче совпадают с траекториями распространения света в задаче оптики, если потенциальная энергия в первой задаче и показатель преломления во второй задаче связаны соотношением:
$$\mu =(h-\phi {)}^{\frac{1}{2}}.$$

На основании этого факта сторонники корпускулярной теории надеялись найти объяснение оптическим явлениям, ибо согласно их воззрениям световой луч рассматривался как совокупность быстро движущихся материальных частиц. Однако вышеуказанное предложение остается справедливым при любых гипотезах относительно природы света, и поэтому установление связи между оптикой и динамикой возможно также и при волновой теории света. Эта мысль лежит в основе теории Гамильтона.

Если мы положим в основу волновую теорию, то математическое описание распространения света может быть проведено двумя методами: методом световых лучей и методом волновых фронтов. Последний метод, предложенный в 1690 г. Гюйгенсом, заключается в следующем.

Волновой фронт, или геометрическое место возмущений в оптической среде в некоторый момент времени $t$, имеет вид некоторой поверхности $\sigma$. Каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как источник возбуждения распространяющихся наружу побочных волн, так что в какой-нибудь последующий момент времени $t^{\prime }$ исходящее из точки ( $x,y,z)$ первоначального волнового фронта возмущение распространяется на некоторую поверхность. Чтобы определить уравнение этой поверхности, заметим, что промежуток времени, в течение которого свет распространяется из произвольной точки $(x,y,z)$ в произвольную точку $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, есть функция одних лишь величин $x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$. Обозначим эту функцию через $V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. Гамильтон называл функцию $V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ характеристической функцией рассматриваемой среды. Следовательно, возмущение, исходящее в момент времени $t$ из точки $(x,y,z)$ первоначального волнового фронта, к моменту времени $t^{\prime }$ распространится на поверхность, уравнением которой в координатах $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ будет:
$$V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=t^{\prime }-t.$$

По принципу распространения волн Гюйгенса полное возмущение в момент времени $t^{\prime }$ представится волновым фронтом, являющимся огибающей побочных волн, исходящих из всех элементов первоначального волнового фронта. Обозначим эту огибающую через $\mathrm{\Sigma }$, направляющие косинусы нормали к поверхности волнового фронта $\sigma$ в точке $(x,y,z)$ — через $l,m,n$, а направляющие косинусы нормали в соответственной ${}^1$ точке $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ волнового фронта $\mathrm{\Sigma }$ через $l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime }$. Они являются вместе с тем и направляющими косинусами световых лучей в точках $(x,y,z)$ и $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, так как в изотропной среде световой луч нормален к волновому фронту ${}^2$. Так как $\mathrm{\Sigma }$ есть огибающая поверхностей $V$, соответствующих различным точкам поверхности $\sigma$, то для всех значений отношений $dx:dy:dz$, соответствующих направлениям в касательных плоскостях к $\sigma$, т. е. удовлетворяющих уравнению
$$ldx+mdy+ndz=0,$$

должно выполняться уравнение:
$$\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz=0.$$

Поэтому имеем:
$$\frac{1}{l}\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{1}{m}\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{1}{n}\frac{\partial V}{\partial z}.$$

Так как $l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime }$ суть направляющие косинусы нормали к поверхности $V$ в точке $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$, то, кроме того, имеем:
$$\frac{1}{l^{\prime }}\frac{\partial V}{\partial x^{\prime }}=\frac{1}{m^{\prime }}\frac{\partial V}{\partial y^{\prime }}=\frac{1}{n^{\prime }}\frac{\partial V}{\partial z^{\prime }}.$$

Световой луч, исходящий в момент времени $t$ из точки $(x,y,z)$ в направлении $(l,m,n)$, в момент времени $t^{\prime }$ проходит через точку $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ в направлении $(l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime })$. Уравнения (1), (2) и (3) совместно с уравнением
$$l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2}=1$$

образуют систему из шести уравнений для определения шести величин $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime }$ как функций от $x,y,z,l,m,n$. Эти уравнения вполне определяют поведение светового луча в среде при помощи одной только функции $V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. Заметим, что эти уравнения являются не дифференциальными и определяют изменения системы
${}^1$ Точка $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ соответствует точке $(x,y,z)$, если побочная волна, выходящая из $(x,y,z)$, касается огибающей $\mathrm{\Sigma }$ в точке $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$.
2 Для простоты мы предполагаем, что среда оптически неоднородна, но изотропна. Гамильтон исследовал и более общий случай кристаллической среды.

световых лучей после распространения в течение конечного промежутка времени в проинтегрированной форме. Таким образом, всякая оптическая задача сводится к определению характеристической функции $V(x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ для рассматриваемой оптической среды.

С точки зрения чисто математической мы можем рассматривать переход от переменных $x,y,z,l,m,n$ к переменным $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },l^{\prime },m^{\prime },n^{\prime }$ или, выражаясь геометрически, переход от поверхностей $\sigma$ к поверхностям $\mathrm{\Sigma }$, как некоторое преобразование. Следовательно, функция $V$ определяет преобразование пространства, переводящее всякую поверхность $\sigma$ в некоторую другую поверхность $\mathrm{\Sigma }$. Если две поверхности $\sigma$ и ${\sigma }^{\prime }$ касаются в какой-нибудь точке, то, очевидно, в соответственной точке будут касаться также и преобразованные поверхности $\mathrm{\Sigma }$ и ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$. На этом основании С.Ли называет эти преобразования контактными. Таким образом, функция $V$ определяет контактное преобразование, переводящее всякий волновой фронт $\sigma$ в такой волновой фронт $\mathrm{\Sigma }$, который получается из первого после распространения возмущения в среде в течение промежутка времени $t^{\prime }-t$.

Простейшим примером контактного преобразования является известное в геометрии преобразование по методу взаимных полар. Чтобы получить поляру некоторой поверхности $\sigma$ относительно заданной поверхности второго порядка, мы строим для каждой точки ( $x,y,z$ ) поверхности $\sigma$ ее полярную плоскость относительно поверхности второго порядка и находим огибающую $\mathrm{\Sigma }$ всех этих плоскостей. Эта поверхность $\mathrm{\Sigma }$ и есть искомая поляра. Переход от $\sigma$ к $\mathrm{\Sigma }$ является, очевидно, контактным преобразованием. В этом случае характеристическая функция $V$ линейна как относительно $x,y,z$, так и относительно $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$.

Продолжим изложение теории Гамильтона. Придадим уравнениям (2) и (3) вид:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial V}{\partial x}=\chi l,\frac{\partial V}{\partial y}=\chi m,\frac{\partial V}{\partial z}=\chi n,\\ \frac{\partial V}{\partial x^{\prime }}=\lambda l^{\prime },\frac{\partial V}{\partial y^{\prime }}=\lambda m^{\prime },\frac{\partial V}{\partial z^{\prime }}=\lambda n^{\prime },\end{array}$$

где величины $\chi$ и $\lambda$ могут быть легко определены следующим образом. Полученные уравнения могут быть записаны в виде:
$$dV=\chi (ldx+mdy+ndz)+\lambda (l^{\prime }d{x}^{\prime }+m^{\prime }d{y}^{\prime }+n^{\prime }d{z}^{\prime }).$$

При перемещении из точки ( $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ ) в направлении луча на элемент расстояния $d{s}^{\prime }$ величина $V$ увеличивается на элементарный промежуток времени, в течение которого луч проходит элемент $d{s}^{\prime }$. Но если единицы мер выбрать таким образом, чтобы скорость света в свободном эфире равнялась единице, то скорость света в точке $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ будет равняться $\frac{1}{{\mu }^{\prime }}$, где ${\mu }^{\prime }$ есть показатель преломления среды в точке $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$. Следовательно, свет проходит элемент $d{s}^{\prime }$ в течение промежутка времени:
$${\mu }^{\prime }d{s}^{\prime }={\mu }^{\prime }(l^{\prime 2}+m^{\prime 2}+n^{\prime 2})d{s}^{\prime }={\mu }^{\prime }(l^{\prime }d{x}^{\prime }+m^{\prime }d{y}^{\prime }+n^{\prime }d{z}^{\prime }).$$

Сравнивая с (5), мы видим, что $\lambda ={\mu }^{\prime }$. Аналогично получим, что и $\chi =-\mu$, где $\mu$ — показатель преломления в точке $(x,y,z)$. Следовательно, общая формула Гамильтона имеет вид:
$$dV={\mu }^{\prime }(l^{\prime }d{x}^{\prime }+m^{\prime }d{y}^{\prime }+n^{\prime }d{z}^{\prime })-\mu (ldx+mdy+ndz).$$

Полагая
$$\mu l=\xi ,\mu m=\eta ,\mu n=\zeta ,{\mu }^{\prime }{l}^{\prime }={\xi }^{\prime },{\mu }^{\prime }{m}^{\prime }={\eta }^{\prime },{\mu }^{\prime }{n}^{\prime }={\zeta }^{\prime },$$

мы придадим этой формуле вид:
$$dV={\xi }^{\prime }d{x}^{\prime }+{\eta }^{\prime }d{y}^{\prime }+{\zeta }^{\prime }d{z}^{\prime }-\xi dx-\eta dy-\zeta dz.$$

Величины $\xi ,\eta ,\zeta ,{\xi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{\zeta }^{\prime }$ Гамильтон называет компонентами нормальной медлительности распространения волн в точках $(x,y,z)$ и $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$.

Рассмотрим теперь частный случай, когда интервал времени $t^{\prime }-t$ между положениями $\sigma$ и $\mathrm{\Sigma }$ одного и того же волнового фронта очень мал. Обозначим этот интервал через $\mathrm{\Delta }t$. В этом случае контактное преобразование называется бесконечно малым. Положим:
$$\begin{array}{rl}{x}^{\prime }& =x+\alpha \mathrm{\Delta }t,y^{\prime }=y+\beta \mathrm{\Delta }t,z^{\prime }=z+\gamma \mathrm{\Delta }t,\\ {\xi }^{\prime }& =\xi +u\mathrm{\Delta }t,{\eta }^{\prime }=\eta +v\mathrm{\Delta }t,{\zeta }^{\prime }=\zeta +w\mathrm{\Delta }t,\end{array}\}$$

Тогда уравнение (6) принимает вид:
$$\begin{array}{rl}dW\mathrm{\Delta }t& =(\xi +u\mathrm{\Delta }t)(dx+d\alpha \mathrm{\Delta }t)+(\eta +v\mathrm{\Delta }t)(dy+d\beta \mathrm{\Delta }t)+\\ & +(\zeta +w\mathrm{\Delta }t)(dz+d\gamma \mathrm{\Delta }t)-\xi dx-\eta dy-\zeta dz=\\ & =u\mathrm{\Delta }tdx+v\mathrm{\Delta }tdy+w\mathrm{\Delta }tdz+\xi \mathrm{\Delta }td\alpha +\eta \mathrm{\Delta }td\beta +\zeta \mathrm{\Delta }td\gamma \end{array}$$

или
$$dW=udx+vdy+wdz+\xi d\alpha +\eta d\beta +\zeta d\gamma$$

или
$$d(\xi \alpha +\eta \beta +\zeta \gamma -W)=\alpha d\xi +\beta d\eta +\gamma d\zeta -udx-vdy-wdz.$$

Обозначая функцию $\xi \alpha +\eta \beta +\zeta \gamma -W$ через $H$ и рассматривая ее как функцию от $x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta$, получим:
$$dH=\alpha d\xi +\beta d\eta +\gamma d\zeta -udx-vdy-wdz.$$

Но в силу (7) в пределе $u=\frac{d\xi }{dt},\alpha =\frac{dx}{dt}$ и т. д.
Поэтому
$$dH=\frac{dx}{dt}d\xi +\frac{dy}{dt}d\eta +\frac{dz}{dt}d\zeta -\frac{d\xi }{dt}dx-\frac{d\eta }{dt}dy-\frac{d\zeta }{dt}dz.$$

Следовательно, производные по времени от шести величин $x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta$ определяются равенствами:
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial \xi },\frac{dy}{dt}=\frac{\partial H}{\partial \eta },\frac{dz}{dt}=\frac{\partial H}{\partial \zeta },\\ \frac{d\xi }{dt}=\frac{\partial H}{\partial x},\frac{d\eta }{dt}=\frac{\partial H}{\partial y},\frac{d\zeta }{dt}=\frac{\partial H}{\partial z}.\end{array}\}$$

Но это есть такая же система уравнений, как и уравнения динамики в форме Гамильтона. Наше исследование показывает, что она может быть рассматриваема как аналитическое выражение бесконечно малого преобразования, т. е. движения волнового фронта из одного положения в другое бесконечно близкое. Интегралы этой гамильтоновой системы суть уравнения (1), (2), (3) и (4). Последние уравнения выражают конечное контактное преобразование, т. е. движение волнового фронта из одного какого-нибудь положения в другое положение, которого оно достигает по истечении конечного промежутка времени. Таким образом мы видим, что, используя волновую теорию света, Гамильтон получил возможность написать уравнения динамики в проинтегрированной форме, зависящей только от одной неизвестной функции.