Мы придадим теперь дифференциальным уравнениям движения консервативной голономной динамической системы новую форму, которая служит основанием почти всех дальнейших динамических теорий.

Пусть система имеет координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и кинетический потенциал $L$, так что уравнения движения Лагранжа имеют вид:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Мы полагаем:
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}=p_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

и, следовательно,
\[
\dot{p}_{r}=\frac{\partial L}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

При помощи первой из этих двух систем уравнений мы можем рассматривать величины одного из двух рядов $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ и $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как функции величин другого ряда.

Пусть $\delta$ означает приращение любой функции переменных $q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ или $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ при бесконечно малых изменениях аргументов. Тогда
\[
\begin{aligned}
\delta L & =\sum_{r=1}^{n}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{r}} \delta q_{r}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}\right)= \\
& =\sum_{r=1}^{n}\left(\dot{p}_{r} \delta q_{r}+p_{r} \delta \dot{q}_{r}\right)=\delta \sum_{r=1}^{n} p_{r} \dot{q}_{r}+\sum_{r=1}^{n}\left(\dot{p}_{r} \delta q_{r}-\dot{q}_{r} \delta p_{r}\right)
\end{aligned}
\]

или
\[
\delta\left\{\sum_{r=1}^{n} p_{r} \dot{q}_{r}-L\right\}=\sum_{r=1}^{n}\left(\dot{q}_{r} \delta p_{r}-\dot{p}_{r} \delta q_{r}\right) .
\]

Следовательно, обозначая через $H$ величину $\sum_{r=1}^{n} p_{r} \dot{q}_{r}-L$, рассматриваемую как функцию переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}, t$, будем иметь:
\[
\delta H=\sum_{r=1}^{n}\left(\dot{q}_{r} \delta p_{r}-\dot{p}_{r} \delta q_{r}\right)
\]

или
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Движение всякой динамической системы может быть определено дифференциальными уравнениями вида (2), называемыми каноническими или уравнениями Гамильтона. Зависимыми переменными являются величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$, и система состоит из $2 n$ уравнений первого порядка, в то время как система Лагранжа состоит из $n$ уравнений второго порядка.

Эти уравнения получены Гамильтоном в 1834 г. ${ }^{1}$ Его результаты были частично получены еще ранее французскими математиками. Пуассон ${ }^{2}$ уже в 1809 г. сделал первый шаг в этом направлении, он ввел в рассмотрение величину:
\[
\sum_{r=1}^{n} p_{r} \dot{q}_{r}-T
\]

представил ее как функцию переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ и получил, таким образом, первую половину системы Гамильтона. Лагранж ${ }^{3}$ в 1810 г. ввел специальную систему уравнений (для вариации элементов орбиты) в форме Гамильтона, в которой роль функции $H$ играет функция возмущений. Кроме этого, к этой форме уравнений привела и теория нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка. Ибо, как это показали Пфафф $\phi^{4}$ в 1814 г. и Коши ${ }^{5}$ (в дополнение к более ранним работам Лагранжа и Монжа) в 1819 г., дифференциальные уравнения характеристик уравнения в частных производных
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)=0,
\]

где
\[
p_{s}=\frac{\partial z}{\partial x_{s}}
\]

имеют вид:
\[
\frac{d x_{1}}{\frac{\partial f}{\partial p_{1}}}=\frac{d x_{2}}{\frac{\partial f}{\partial p_{2}}}=\ldots=\frac{d x_{n}}{\frac{\partial f}{\partial p_{n}}}=\frac{d p_{1}}{\frac{-\partial f}{\partial x_{1}}}=\frac{d p_{2}}{\frac{-\partial f}{\partial x_{2}}}=\ldots=\frac{d p_{n}}{\frac{-\partial f}{\partial x_{n}}} .
\]
${ }^{1}$ Brit. Ass. Rep., стр. 513, 1834; Phil. Trans., cтp. 95, 1835.
${ }^{2}$ Journal de l’Ecole polyt., т. 8, тетр. 15, стр. 226, 1809.
${ }^{3}$ Mém. de l’Inst., стр. 343,1809 .
${ }^{4}$ Berl. Abhandl., стр. 76, 1814-1815.
${ }^{5}$ Bull. Soc.philomath., стр. 10, 1819.

Исследования Гамильтона были распространены Остроградским ${ }^{6}$ (1848-1850) и Донкином ${ }^{7}$ (1854) на те случаи, когда кинетический потенциал содержит явно время.

Уравнение (1) иногда называют аамильтоновым уравнением возможной работы. Это уравнение может быть записано более симметрично в форме:
\[
\delta\left(\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}-H d t\right)=d\left(\sum_{r=1}^{n} p_{r} \delta q_{r}-H \delta t\right),
\]

в которой оно сразу устанавливает важность дифференциальной формы
\[
\sum_{r=1}^{n} p_{r} d q_{r}-H d t
\]

в связи с дифференциальными уравнениями динамики ( $\S 137$ ).
Если кинетический потенциал $L$ не содержит явно времени, то, очевидно, то же самое будет справедливо и по отношению к функции Гамильтона $H$; в этом случае система допускает интеграл энергии
\[
\sum_{r=1}^{n} \dot{q}_{r} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{r}}-L=h
\]

где $h$ — некоторая постоянная. Вместо этого уравнения мы можем писать:
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)=h .
\]

Это уравнение представляет интеграл энергии динамической системы, для которой функция Гамильтона $H$ не содержит явно времени. Вместе с тем из § 41 вытекает, что для натуральных систем $H$ есть сумма кинетической и потенциальной энергий.
ЗадАчА 1. Показать, что уравнения движения математического маятника могут быть представлены в виде:
\[
\frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-g l^{-1} \cos q
\]

и где $q$ означает угол между маятником и вертикалью в момент времени $t, l$ — длина маятника, и масса маятника принята равной единице.
${ }^{6}$ Mélanges de l’Acad.de St.-Pét., октябрь, 1848; Mém. de l’Acad. de St.-Pét., т. 6. стр. 385, 1850.
${ }^{7}$ Phil. Trans., cтp. 71, 1854 .