Если рассматриваемая система дифференциальных уравнений есть система Гамильтона, то, очевидно, $\sum_{r} \frac{\partial x_{r}}{\partial x_{r}}=0$ и, следовательно, $M=1$ есть решение уравнения, определяющего последний множитель. Таким образом, единица есть последний множитель системы Гамильтона.

Этот результат приводит к теореме, что для консервативных голономных систем с двумя степенями свободы может быть выполнено полное интегрирование уравнений движения, если кроме интеграла энергии известен еще один интеграл.
Пусть, в самом деле, для системы
\[
\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\frac{d q_{2}}{\frac{\partial H}{\partial p_{2}}}=\frac{d p_{1}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}}=\frac{d p_{2}}{-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}}=d t
\]

кроме интеграла энергии $H\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=h$, известен еще один интеграл $V\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=c$. Согласно теореме о последнем множителе выражение
\[
\int \frac{1}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}}\left\{\frac{\partial H}{\partial p_{2}} d q_{1}-\frac{\partial H}{\partial p_{1}} d q_{2}\right\}=\text { const }
\]

есть также интеграл. При этом в подынтегральном выражении величины $p_{1}$ и $p_{2}$ должны быть заменены их выражениями через $q_{1}$ и $q_{2}$, получаемыми из известных интегралов $H$ и $V$.

Но если мы предположим, что результат решения уравнений $H=h$ и $V=c$ относительно $p_{1}$ и $p_{2}$ дает:
\[
p_{1}=f_{1}\left(q_{1}, q_{2}, h, c\right), \quad p_{2}=f_{2}\left(q_{1}, q_{2}, h, c\right),
\]

то тогда должны тождественно выполняться равенства:
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial f_{1}}{\partial c}+\frac{\partial H}{\partial p_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial c}=0, \quad \frac{\partial V}{\partial p_{1}} \frac{\partial f_{1}}{\partial c}+\frac{\partial V}{\partial p_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial c}=1
\]

и поэтому
\[
\frac{\partial f_{1}}{\partial c}=\frac{\frac{\partial H}{\partial p_{2}}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}}, \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial c}=\frac{-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}}
\]

Теорема о последнем множителе равносильна, следовательно, утверждению, что
\[
\int\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial c} d q_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial c} d q_{2}\right)
\]

есть интеграл уравнений движения.
Этот результат непосредственно приводит к вышеназванной теореме, которую мы сформулируем следующим образом ${ }^{1}$ : Если динамическая система, определяемая уравнениями:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2),
\]

имеет, кроме интеграла энергии $H\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=h$, еще интеграл $V\left(q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}\right)=c$, не содержащий явно времени, то выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}$, в котором $p_{1}$ и $p_{2}$ должны быть заленены их выражениями через $q_{1}$ и $q_{2}$ из интегралов, есть полный дифференциал некоторой функции $\vartheta\left(q_{1}, q_{2}, h, c\right)$, и двумя остальными интегралами системы будут:
\[
\frac{\partial \vartheta}{\partial c}=\text { const } \quad u \quad \frac{\partial \vartheta}{\partial h}=t+\text { const. }
\]

Эта теорема показывает, что если выбрать какое-нибудь семейство из $\infty^{1}$ траекторий (например траекторий, выходящих из точки $q_{1}=\alpha_{1}, q_{2}=\alpha_{2}$ ), обладающих одинаковой энергией, так что каждой точке $\left(q_{1}, q_{2}\right)$ соответствуют определенные значения величин $p_{1}$ и $p_{2}$ (именно те значения $p_{1}$ и $p_{2}$, которые соответствуют принадлежащей семейству траектории, проходящей через точку $\left(q_{1}, q_{2}\right)$ ), то значение интеграла $\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}\right)$, распространенного на любую кривую, соединяющую две определенные точки $\left(q_{10}, q_{20}\right)$ и $\left(q_{11}, q_{21}\right)$, не зависит от пути интегрирования.

Для окончания доказательства, дифференцируя уравнения $H=h$, $V=c$, получим:
\[
\frac{\partial H}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial f_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H}{\partial p_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial q_{1}}=0, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{1}}+\frac{\partial V}{\partial p_{1}} \frac{\partial f_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial V}{\partial p_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial q_{1}}=0 .
\]

Из них следует, что
\[
\frac{\partial f_{2}}{\partial q_{1}}=\frac{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(q_{1}, p_{1}\right)}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}}, \quad \frac{\partial f_{1}}{\partial q_{1}}=\frac{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{2}, q_{2}\right)}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}}
\]
${ }^{1}$ Эта теорема есть простое применение известного метода интегрирования уравнений с частными производными первого порядка. Уравнения динамической системы суть уравнения характеристик уравнения с частными производными. Как теорема динамики она была высказана сначала для частного случая (движения только одной материальной точки) Якоби (Comptes Rendus, т. 3, стр. 59, 1836), а в общей формулировке – Пуассоном (Journ. de Math., т. 2, стр. 317, 1837) и Лиувиллем (Journ. de Math.. т. 5, стр. 351, 1840).

Но так как $V=c$ есть интеграл, то имеем:
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}} \dot{q}_{1}+\frac{\partial V}{\partial p_{1}} \dot{p}_{1}+\frac{\partial V}{\partial q_{2}} \dot{q}_{2}+\frac{\partial V}{\partial p_{2}} \dot{p}_{2}=0
\]

или
\[
\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(q_{1}, p_{1}\right)}+\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(q_{2}, p_{2}\right)}=0
\]

и поэтому
\[
\frac{\partial f_{2}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial q_{2}}=0
\]

Это уравнение показывает, что $f_{1} d q_{1}+f_{2} d q_{2}$ есть полный дифференциал некоторой функции $\vartheta\left(q_{1}, q_{2}, h, c\right)$, и результат, полученный выше из теории последнего множителя, показывает, что $\frac{\partial \vartheta}{\partial c}=$ const есть интеграл.
Кроме того,
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\frac{\partial H}{\partial p_{1}}}=\frac{d q_{2}}{\frac{\partial H}{\partial p_{2}}}
\]

и поэтому
\[
d t=\frac{\frac{\partial V}{\partial p_{2}} d q_{1}-\frac{\partial V}{\partial p_{1}} d q_{2}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{2}, p_{1}\right)}}
\]

Вычисляя величины $\frac{\partial f_{1}}{\partial h}$ и $\frac{\partial f_{2}}{\partial h}$ по тому же способу, что и величины $\frac{\partial f_{1}}{\partial c}$ и $\frac{\partial f_{2}}{\partial c}$, получим:
\[
\frac{\partial f_{1}}{\partial h}=\frac{\frac{\partial V}{\partial p_{2}}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{2}, p_{1}\right)}}, \quad \frac{\partial f_{2}}{\partial h}=\frac{\frac{\partial V}{\partial p_{1}}}{\frac{\partial(V, H)}{\partial\left(p_{1}, p_{2}\right)}}
\]

Следовательно,
\[
d t=\frac{\partial f_{1}}{\partial h} d q_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial h} d q_{2}
\]

или
\[
t=\frac{\partial \vartheta}{\partial h}+\text { const. }
\]

Таким образом, теорема полностью доказана.

ЗАДАчА. В задаче с двумя притягивающими центрами ( $\S 53$ ) $r, r^{\prime}$ означают радиусы-векторы из центров сил, а $\vartheta$ и $\vartheta^{\prime}$ – углы, образуемые этими радиусами-векторами с линией центров. Вывести интеграл
\[
r^{2} r^{\prime 2} \dot{\vartheta} \dot{\vartheta}^{\prime}-2 c\left(\mu \cos \vartheta+\mu^{\prime} \cos \vartheta^{\prime}\right)=\text { const }
\]

и найти при помощи доказанной теоремы полное решение.