Мы разберем теперь принцип, который, как и принцип Гамильтона, может служить для определения траектории динамической системы, но который, однако, не зависит от направления интегрирования.

Пусть $x_{r}, y_{r}, z_{r}$ – координаты произвольной материальной точки $m_{r}$, принадлежащей динамической (голономной или неголономной) системе, а $X_{r}, Y_{r}, Z_{r}$ – компоненты действующих на эту точку внешних сил. Рассмотрим функцию:
\[
\sum m_{r}\left\{\left(\ddot{x}_{r}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{y}_{r}-\frac{Y_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{z}_{r}-\frac{Z_{r}}{m_{r}}\right)^{2}\right\},
\]

где суммирование распространено на все точки системы, а $\ddot{x}_{r}, \ddot{y}_{r}, \ddot{z}_{r}$ относятся к произвольной кинематически возможной траектории, координаты и скорости которой в соответствующий момент времени совпадают с координатами и скоростями действительной траектории. Эта функция представляет то, что Гаусс называет принуждением, а Герц кривизной ${ }^{1}$ рассматриваемой кинематически возможной траектории (Герц исследовал, главным образом, случай движения по инерции). Мы воспользуемся обозначениями Герца.

Следует доказать, что среди всех совместимых со связями (не производяцими по предположению никакой работы) траекторий действительная траектория обладает наименьшей кривизной ${ }^{2}$.

В простом случае движения по инерции отдельной материальной точки по гладкой поверхности эта теорема выражает, очевидно, лишь тот факт, что пространственная кривизна кривой (в обычном смысле) есть наименьшая из всех возможных, при условии, что материальная точка остается на поверхности.
${ }^{1}$ Точнее, у Герца назывался кривизной квадратный корень из этой функции.
${ }^{2}$ Gauss, Journ. f. Math., т. 4, стр. 232, 1829; Werke, т. 5, стр. 23. Гаусс измерял принуждение суммой произведений из масс точек на квадраты соответствующих отклонений от освобожденного от связей движения. Написанное аналитическое выражение впервые дано Шеффлером (H.Scheffler, Zeitschrift f. Math., т. 3, стр. 197, 1858). Теория Герца находится в его Mechanik».

При доказательстве этой теоремы мы предположим, что уравнения связей имеют вид:
\[
\sum_{r} x_{k r} d x_{r}=0 \quad(k=1,2, \ldots, m),
\]

где через $x_{r}$ мы обозначили любую из трех координат точки системы, а коэффициенты $x_{k r}$ суть данные функции координат. Из этого уравнения дифференцированием получим:
\[
\sum_{r} x_{k r} \ddot{x}_{r}+\sum_{r} \sum_{s} \frac{\partial x_{k r}}{\partial x_{s}} \dot{x}_{r} \dot{x}_{s}=0 .
\]

Пусть $\ddot{x}_{r}$ – компонент ускорения нашей типичной точки на рассматриваемой траектории (которая кинематически возможна, но не предполагается непременно действительной траекторией) и $\ddot{x}_{r 0}$ – соответстующий компонент ускорения на действительной траектории. Если мы вычтем последнее уравнение, составленное для действительной траектории, из аналогичного уравнения, составленного для кинематически возможной траектории, то получим:
\[
\sum x_{k r}\left(\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}\right)=0 \quad(k=1,2, \ldots, m),
\]

так как скорости для обеих кривых одинаковы.
Это уравнение показывает, что малое перемещение системы, при котором перемещение $\delta x_{r}$ координат $x_{r}$ пропорциональны ( $\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}$ ), совместимо со связями и, следовательно, есть возможное перемещение.

Компоненты сил, вызываемых связями, будут вида $m_{r} \ddot{x}_{r 0}-X_{r}$; эти силы при возможном перемещении никакой работы не производят. Поэтому получаем:
\[
\sum_{r}\left(m_{r} \ddot{x}_{r 0}-X_{r}\right)\left(\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}\right)=0 .
\]

Этим уравнениям можно придать вид:
\[
\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}=\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r 0}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\sum_{r} m_{r}\left(\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}\right)^{2}
\]

или (если координаты снова обозначить через $x, y, z$ )
\[
\begin{array}{c}
\sum_{r} m_{r}\left\{\left(\ddot{x}_{r}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{y}_{r}-\frac{Y_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{z}_{r}-\frac{Z_{r}}{m_{r}}\right)^{2}\right\}= \\
=\sum_{r} m_{r}\left\{\left(\ddot{x}_{r 0}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{y}_{r 0}-\frac{Y_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{z}_{r 0}-\frac{Z_{r}}{m_{r}}\right)^{2}\right\}+ \\
+\sum_{r} m_{r}\left\{\left(\ddot{x}_{r}-\ddot{x}_{r 0}\right)^{2}+\left(\ddot{y}_{r}-\ddot{y}_{r 0}\right)^{2}+\left(\ddot{z}_{r}-\ddot{z}_{r 0}\right)^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Так как в правой части все члены последней суммы положительны, то
\[
\begin{aligned}
& \sum_{r} m_{r}\left\{\left(\ddot{x}_{r}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{y}_{r}-\frac{Y_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{z}_{r}-\frac{Z_{r}}{m_{r}}\right)^{2}\right\}> \\
> & \sum_{r} m_{r}\left\{\left(\ddot{x}_{r 0}-\frac{X_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{y}_{r 0}-\frac{Y_{r}}{m_{r}}\right)^{2}+\left(\ddot{z}_{r 0}-\frac{Z_{r}}{m_{r}}\right)^{2}\right\},
\end{aligned}
\]

чем и доказывается теорема.