Изящный метод кинематического представления движения по инерции твердого тела вокруг неподвижной точки дал Пуансо ${ }^{1}$.
Эллипсоид инерции тела относительно закрепленной точки имеет по отношению к подвижной системе координат Oxyz уравнение:
\[
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=1 .
\]
Рассмотрим касательную плоскость к эллипсоиду инерции, перпендикулярную к неизменяемой прямой. Пусть $p$ – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Так как направляющие косинусы этого перпендикуляра равны соответственно $\frac{A \omega_{1}}{d}, \frac{B \omega_{2}}{d}, \frac{C \omega_{3}}{d}$ то
\[
p^{2}=\frac{A \omega_{1}^{2}+B \omega_{2}^{2}+C \omega_{3}^{2}}{A^{2} \omega_{1}^{2}+B^{2} \omega_{2}^{2}+C^{2} \omega_{3}^{2}}=\frac{c}{d^{2}}=\text { const. }
\]
Таким образом, перпендикуляр, опущенный на касательную плоскость, остается неизменным как по величине, так и по направлению; следовательно, и касательная плоскость остается неизменной в пространстве. Эллипсоид инерции все время касается этой неизменяемой плоскости. Пусть $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – координаты точки касания эллипсоида с плоскостью. Отождествляя уравнения:
\[
A x x^{\prime}+B y y^{\prime}+C z z^{\prime}=1 \quad \text { и } \quad A \omega_{1} x+B \omega_{2} y+C \omega_{3} z=p d,
\]
мы получим для этих координат значения:
\[
x^{\prime}=\frac{\omega_{1}}{p d}=\frac{\omega_{1}}{\sqrt{c}}, \quad y^{\prime}=\frac{\omega_{2}}{p d}=\frac{\omega_{2}}{\sqrt{c}}, \quad z^{\prime}=\frac{\omega_{3}}{p d}=\frac{\omega_{3}}{\sqrt{c}} .
\]
Радиус-вектор точки $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ является, следовательно, мгновенной осью вращения тела. Отсюда следует: тело движется таким образом, что связанный с ним эллипсоид инерции относительно закрепленной
${ }^{1}$ Poinsot, Theorie nouvelle de la rotation des corps, Paris 1834.
точки катится без скольжения по некоторой неподвижной плоскости, перпендикулярной к неизменяемой прямой. При этом угловая скорость пропорциональна радиусу-вектору точки касания, так что проекция ее на неизменяемую прямую остается постоянной.
ЗАдАчА 1. Тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, находится сначала в покое, а затем подвергается действию постоянной по величине и направлению пары сил. Показать, что построение Пуансо остается справедливым и в этом случае, но проекция угловой скорости на неизменяемую прямую является не постоянной, а некоторой функцией времени.
В самом деле, момент количества движения тела относительно неподвижной оси $O Z$, перпендикулярной к плоскости пары, получает за всякий элементарный промежуток времени $d t$ приращение $N d t$. Следовательно, в момент времени $t$ момент количества движения тела относительно $O Z$ равен Nt. Компоненты момента количества движения по главным осям инерции Oxyz равны соответственно $A \omega_{1}, B \omega_{2}, C \omega_{3}$, где $A, B$ и $C$ – главные моменты инерции, а $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ – компоненты угловой скорости. Поэтому
\[
A \omega_{1}=-N t \sin \vartheta \cos \psi, \quad B \omega_{2}=N t \sin \vartheta \sin \psi, \quad C \omega_{3}=N t \cos \vartheta,
\]
где $\vartheta, \varphi$ и $\psi$ – углы Эйлера, определяющие направление осей $O x y z$ относительно неподвижных осей $O X Y Z$. Эти уравнения отличаются от уравнений движения тела по инерции только тем, что вместо $d t$ в них входит $t d t$. Следовательно, движение, определяемое этими уравнениями, отличается от движения по инерции тем, что все скорости умножаются на величину $t$, чем и доказывается вышеуказанное предложение.
ЗАДАчА 2. Гиперболоид связан с телом, вращающимся по инерции вокруг неподвижной точки; направления осей гиперболоида совпадают с главными осями инерции тела относительно закрепленной точки; квадраты полуосей пропорциональны соответственно величинам $d^{2}-A c, d^{2}-B c, d^{2}-C c$, где $A, B, C$ – главные моменты инерции тела относительно закрепленной точки, $c$ – его удвоенная кинетическая энергия и $d$ – главный момент количества движения. Показать, что при движении гиперболоид катится по некоторому круговому цилиндру, ось которого параллельна оси главного момента количества движения, и проходит через закрепленную точку. (Siacci.)
При движении тела точка касания эллипсоида с плоскостью описывает на эллипсоиде некоторую кривую, которая называется полодией. Ее уравнение относительно главных осей инерции дается, очевидно, уравнением эллипсоида совместно с уравнением $p=$ const, т. е. уравнениями:
\[
\begin{aligned}
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2} & =1, \\
A^{2} x^{2}+B^{2} y^{2}+C^{2} z^{2} & =\frac{d^{2}}{c} .
\end{aligned}
\]
Задачд 3. Показать, что если $A=B$, то полодия будет окружностью.
ЗадАчд 4. Пусть $A \geqslant B \geqslant C$. Показать, что все полодии разбиваются на два класса: полодии первого класса представляют собой замкнутые кривые, охватывающие ось $z$ эллипсоида инерции, и соответствуют случаю $c B>d^{2}>c C$;
§ \%. Кинематическое представление движения по Пуансо; полодии и .. 207
полодии второго класса представляют собой замкнутые кривые, охватывающие ось $x$, и соответствуют случаю $c A>d^{2}>c B$. Оба эти класса разделяются полодией, соответствующей соотношению $c B-d^{2}=0$. Эта последняя полодия состоит из двух эллипсов, проходящих через концы средней оси эллипсоида инерции.
Кривая, описываемая точкой касания эллипсоида с неподвижной плоскостью на этой плоскости, называется герполодией.
Для определения уравнения герполодии обозначим через $\rho$ и $\chi$ полярные координаты точки касания с началом в основании перпендикуляра, опущенного из закрепленной точки на неподвижную плоскость. Если $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ означают координаты той же точки относительно подвижных осей $O x y z$, то величина $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}$ равна квадрату радиусавектора, соединяющего эту точку с точкой опоры, и поэтому
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}=\rho^{2}+\frac{c}{d^{2}}
\]
Заменяя $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ их значениями из уравнений:
\[
\begin{aligned}
x^{\prime} & =\frac{\omega_{1}}{\sqrt{c}}=-\frac{d \sin \vartheta \cos \psi}{A \sqrt{c}}, \\
y^{\prime} & =\frac{\omega_{2}}{\sqrt{c}}=\frac{d \sin \vartheta \sin \psi}{B \sqrt{c}}, \\
z^{\prime} & =\frac{\omega_{3}}{\sqrt{c}}=\frac{d \cos \vartheta}{C \sqrt{c}}
\end{aligned}
\]
получим:
\[
\rho^{2}=-\frac{c}{d^{2}}+\frac{d^{2}}{A^{2} c} \sin ^{2} \vartheta \cos ^{2} \psi+\frac{d^{2}}{B^{2} c} \sin ^{2} \vartheta \sin ^{2} \psi+\frac{d^{2}}{C^{2} c} \cos ^{2} \vartheta .
\]
Заменяя $\vartheta$ и $\psi$ их выражениями через $t$, будем иметь:
\[
\begin{aligned}
\rho^{2} & =\frac{\left(c A-d^{2}\right)\left(d^{2}-c C\right)}{c d^{2} A^{2} B^{2} C^{2}}\left\{A C B^{2}-\frac{(B-C)(A-B) d^{2}}{\wp(t)-e_{3}}\right\}= \\
& =\frac{\left(c A-d^{2}\right)\left(d^{2}-c C\right)}{c d^{2} A C} \cdot \frac{\wp(t)-\wp(l+\omega)}{\wp(t)-e_{3}}
\end{aligned}
\]
где $\omega$ – полупериод, соответствующий корню $e_{1}$. Полученное уравнение определяет радиус-вектор герполодии как функцию времени.
Для определения $\chi$ заметим, что величина $\frac{\sqrt{c} \rho^{2} \dot{\chi}}{d}$ равна ушестеренному объему тетраэдра, вершины которого образованы точкой опоры, основанием перпендикуляра, опущенного из точки опоры на неподвижную плоскость, и двумя бесконечно близкими точками касания, деленному на соответствующий интервал времени. Эта величина может быть представлена в форме:
\[
\left|\begin{array}{ccc}
x^{\prime} & y^{\prime} & z^{\prime} \\
\frac{A c x^{\prime}}{d^{2}} & \frac{B c y^{\prime}}{d^{2}} & \frac{C c z^{\prime}}{d^{2}} \\
\dot{x}^{\prime} & \dot{y}^{\prime} & \dot{z}^{\prime}
\end{array}\right|=\frac{c}{d^{2}} x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
A & B & C \\
\frac{\dot{x}^{\prime}}{x^{\prime}} & \frac{\dot{y}^{\prime}}{y^{\prime}} & \frac{\dot{z}^{\prime}}{z^{\prime}}
\end{array}\right| .
\]
За исключением $\dot{\chi}$ все входящие величины являются известными функциями времени. Заменяя эти величины их выражениями через $t$ и сокращая, получим:
\[
\dot{\chi}=\frac{d}{B\{\wp(t)-\wp(l+\omega)\}}\left\{\wp(t)-\frac{(B-C) e_{2}+(A-B) e_{1}}{A-C}\right\} .
\]
Этому выражению можно придать вид:
\[
\dot{\chi}=\frac{d}{B}+\frac{i}{2} \frac{\wp^{\prime}(l+\omega)}{\wp(t)-\wp(l+\omega)} .
\]
Это уравнение может быть так же проинтегрировано, как и уравнение, определяющее угол $\varphi$. Интегрирование дает:
\[
e^{2 i\left(\chi-\chi_{0}\right)}=e^{\left\{\frac{2 i d}{B}-2 \zeta(l+\omega)\right\} t} \frac{\sigma(t+l+\omega)}{\sigma(t-l-\omega)},
\]
где $\chi_{0}$ – постоянная интегрирования. Таким образом, текущие координаты $\rho$ и $\chi$ герполодии определены как функции от $t$.
ЗАДАчА 5. Материальная точка движется таким образом, что ее момент количества движения относительно начала координат есть линейная функция квадрата радиуса-вектора, а квадрат ее скорости есть квадратичная функция квадрата радиуса-вектора, в которой коэффициент при наивысшей степени имеет отрицательное значение. Показать, что траекторин есть гернолодин Пуансо, причем, однако, $A, B$ и $C$ не ограничиваются уже только положительными значениями.
ЗАДАчА 6. Исследовать случаи, при которых полодия состоит из: а) двух эллипсов, пересекающихся по средней оси эллипсоида инерции; b) двух параллельных окружностей; с) двух точек. В этих случаях герполодия будет спиралью (уравнение которой может быть выражено в эллиптических функциях), окружностью или точкой.
