В $\mathrm{\S }42$ мы показали, что, используя интеграл энергии, можно понизить порядок лагранжевой системы уравнений движения консервативной голономной системы. Мы хотим теперь доказать аналогичную теорему и относительно систем уравнений движений в форме Гамильтона.

Допустим, что функция Гамильтона $H$ какой-нибудь динамической системы с $n$ степенями свободы не содержит явно времени, так что интеграл энергии имеет вид:
$$H+h=0$$

где $h$ — некоторая постоянная.
Разрешив это уравнение относительно $p_1$, представим его в виде:
$$p_1+K(p_2,p_3,\dots ,p_n,q_1,q_2,\dots ,q_n,h)=0.$$

Системе соответствует дифференциальная форма
$$p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\cdots +p_{n}d{q}_n+hdt$$

переменные которой $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n$ связаны предыдущим уравнением. Поэтому эта дифференциальная форма преобразуется в форму: $p_{2}d{q}_2+p_{3}d{q}_3+\cdots +p_{n}d{q}_n+hdt-K(p_2,p_3,\dots ,p_n,q_1,q_2,\dots$, $q_n,h)d{q}_1$ с $2n+1$ переменными $q_1,q_2,\dots ,q_n,p_1,p_2,\dots ,p_n,h,t$.

Но этой форме соответствуют ( $\mathrm{\S }137$ ) дифференциальные уравнения:
$$\begin{array}{l}\frac{d{q}_r}{d{q}_1}=\frac{\partial K}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{d{q}_1}=-\frac{\partial K}{\partial q_r},(r=2,3,\dots ,n),\\ \frac{dt}{d{q}_1}=\frac{\partial K}{\partial h},\frac{dh}{d{q}_1}=0.\end{array}$$

Последние два уравнения могут быть отделены от остальных, ибо первые $2n-2$ уравнений не содержат явно времени, и $h$ является постоянной. Первоначальные дифференциальные уравнения могут быть, следовательно, заменены системой:
$$\frac{d{q}_r}{d{q}_1}=\frac{\partial K}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{d{q}_1}=-\frac{\partial K}{\partial p_r},(r=2,3,\dots ,n)$$

с $n-1$ степенями свободы.
Этот результат, как это может быть показано непосредственным преобразованием, эквивалентен результату, полученному в § 139 .

ЗАДАчА 1. Рассмотрим систему уравнений:
$$\frac{d{q}_r}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_r},\frac{d{p}_r}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_r},(r=1,2),$$

где
$$H=\frac{1}{2}{p}_2^2+\frac{1}{2q_2^2}{p}_1^2-\frac{\mu }{2q_2^2},$$

а $\mu$ — некоторая постоянная. Легко видеть, что они являются уравнениями движения материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной третьей степени расстояния. Переменные $q_2$ и $q_1$ представляют собой полярные координаты (радиус-вектор и полярный угол) материальной точки относительно притягивающего центра.

Положим $H=-h$ и приведем систему при помощи предыдущей теоремы к виду:
$$\frac{d{q}_2}{d{q}_1}=\frac{\partial K}{\partial p_2},\frac{d{p}_2}{d{q}_1}=-\frac{\partial K}{\partial q_2}$$

где
$$K=-{(\mu -q_2^2{p}_2^2-2h{q}_2^2)}^{\frac{1}{2}}.$$

Так как $K$ не содержит явно координаты $q_1$, то последняя система имеет интеграл $K=$ const. Поэтому мы можем повторить предыдущую операцию. Полагая $K=-k$, получим:
$$p_2={(\frac{\mu -k^2}{q_2^2}-2h)}^{\frac{1}{2}}=-L.$$

Следовательно, система приводится к единственному уравнению:
$$\frac{d{q}_1}{d{q}_2}=\frac{\partial L}{\partial k}=\frac{k}{q_2^2}{(\frac{\mu -k^2}{q_2^2}-2h)}^{-\frac{1}{2}},$$

интеграл которого (предполагая $\mu <k^2$ ) имеет вид:
$$q_2={(k^2-\mu )}^{\frac{1}{2}}(-2h{)}^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{\cos \left\{{(1-\frac{\mu }{k^2})}^{\frac{1}{2}}(q_1+\epsilon )\right\}},$$

где $\epsilon$ — произвольная постоянная. Полученное уравнение определяет траектории в полярных координатах.