На поверхности шара начерчены произвольные фигуры $S$. Этим фигурам при помощи стереографической проекции, за центр которой принята наивысшая точка шара, а за плоскость проекции касательная плоскость в наинизшей точке, отвечают некоторые фигуры $P$ плоскости. Шар поворачивается на некоторый угол вокруг одного из своих диаметров. Обозначим через $S^{\prime}$ новое положение фигур $S$. Фигурам $S^{\prime}$ при помощи стереографической проекции с тем же центром и с той же плоскостью проекций отвечают фигуры $P^{\prime}$. Таким образом, вращению шара, переводящему фигуры $S$ в фигуры $S^{\prime}$, отвечает в плоскости преобразование фигур $P$ в фигуры $P^{\prime}$. Этим преобразованием мы займемся сейчас более подробно.
Если одна из фигур $P$ есть окружность, то и соответствующая фигуpa $S$ будет также окружностью, ибо стереографические проекции переводят окружность в окружность. Поэтому $S^{\prime}$ и, следовательно, соответствующая $P$ будут также окружностями. Следовательно, вращению шара соответствуют преобразования плоскости, преобразующие окружности в окружности.
Каждое такое преобразование может быть выражено аналитически следующим образом ${ }^{1}$.
Пусть $z=x+i y$, где $x$ и $y$ прямоугольные координаты произвольной точки плоскости, так что каждой такой точке отвечает определенное значение комплексного переменного $z$. Аналогично обозначим через $z^{\prime}$ комплексную переменную $x^{\prime}+i y^{\prime}$, где $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ – координаты точки, в которую преобразовывается точка $(x, y)$. Тогда всякое преобразование плоскости, допускающее обратное преобразование и преобразующее окружности в окружности ${ }^{2}$, определяется уравнением
\[
z^{\prime}=\frac{a z+b}{c z+d}
\]
где $a, b, c, d$ – произвольные комплексные постоянные. К этому преобразованию можно еще присоединить зеркальное отображение относительно одной из координатных осей.
Преобразование, определяемое уравнением вида
\[
z^{\prime}=\frac{a z+b}{c z+d}
\]
называется линейным. Таким образом, каждому линейному преобразованию плоскости отвечает определенное вращение твердого тела вокруг точки. Ли-
${ }^{1}$ CM. L.R.Ford, An introduction to the theory of automorphic functions, London 1915.
${ }^{2}$ Прямая рассматривается как частный случай окружности.
В этом и заключается аналитическое выражение связи линейных преобразований с вращением твердого тела.
Преимущество параметров $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ по сравнению с параметрами $\xi, \eta$, $\zeta, \chi$ заключается в том, что при таком же простом законе сложения приходится пользоваться привычным символом $i=\sqrt{-1}$ вместо громоздких символов $i, j, k$ кватернионов Гамильтона.
Задачд 1. Пусть $\vartheta, \varphi, \psi$, означают углы Эйлера. Вектор, соединяющий начало координат с некоторой точкой, движущейся вместе с системой $O x y z$, имеет до движения углы $\vartheta_{1}$ и $\varphi_{1}$, а после движения углы $\vartheta_{1}^{\prime}$ и $\varphi_{1}^{\prime}$. Обозначив $e^{i \varphi_{1}} \operatorname{tg} \frac{1}{2} \vartheta_{1}$ через $\zeta_{1}$ и $e^{i \varphi_{1}^{\prime}} \operatorname{tg} \frac{1}{2} \vartheta_{1}^{\prime}$ через $\zeta_{1}^{\prime}$, показать, что
\[
\zeta_{1} e^{i \psi}=\frac{\zeta_{1}^{\prime} e^{-i \varphi} \cos \frac{1}{2} \vartheta-\sin \frac{1}{2} \vartheta}{\zeta_{1}^{\prime} e^{-i \varphi} \sin \frac{1}{2} \vartheta+\cos \frac{1}{2} \vartheta} .
\]
ЗАДАчА 2. При помощи равенств
\[
\begin{array}{l}
X_{1}=\alpha x_{1}+\beta x_{2}, \\
X_{2}=\gamma x_{1}+\delta x_{2}
\end{array}
\]
составить выражения для величин $X_{1}^{2}, X_{2}^{2}, X_{1} X_{2}$, рассматривая их как чисто арифметические величины, затем величины $X_{1}^{2}, X_{2}^{2}, X_{1} X_{2}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{1} x_{2}$ заменить соответственно величинами $-Y+i X, Y+i X, Z,-y+i x, y+i x, z$ и показать, что полученные таким образом равенства:
\[
\begin{aligned}
-Y+i X & =\alpha^{2}(-y+i x)+2 \alpha \beta z+\beta^{2}(y+i x), \\
Y+i X & =\gamma^{2}(-y+i x)+2 \gamma \delta z+\delta^{2}(y+i x), \\
Z & =\alpha \gamma(-y+i x)+(\alpha \delta+\beta \gamma) z+\beta \delta(y+i x)
\end{aligned}
\]
определяют зависимость между координатами $X, Y, Z$ некоторой точки в системе $O X Y Z$ и ее координатами $x, y, z$ в системе $O x y z$.
ЗАДАчА 3. Пусть
\[
(-y+i x):(y+i x): z=\lambda \lambda^{\prime}: 1: \frac{1}{2}\left(\lambda+\lambda^{\prime}\right)
\]
и
\[
(-Y+i X):(Y+i X): Z=\lambda_{1} \lambda_{1}^{\prime}: 1: \frac{1}{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{1}^{\prime}\right) .
\]
Показать, что
\[
\lambda_{1}=\frac{\alpha \lambda+\beta}{\gamma \lambda+\delta} \quad \text { и } \quad \lambda_{1}^{\prime}=\frac{\alpha \lambda^{\prime}+\beta}{\gamma \lambda^{\prime}+\delta} .
\]
§13. Векторы. Мы переходим теперь к изучению основных свойств поступательного движения твердого тела.
Поступательное перемещение, само по себе, вне зависимости от твердого тела, обладает следующими свойствами:
В этом и заключается аналитическое выражение связи линейных преобразований с вращением твердого тела.
Преимущество параметров $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ по сравнению с параметрами $\xi, \eta$, $\zeta, \chi$ заключается в том, что при таком же простом законе сложения приходится пользоваться привычным символом $i=\sqrt{-1}$ вместо громоздких символов $i, j, k$ кватернионов Гамильтона.
Задачд 1. Пусть $\vartheta, \varphi, \psi$, означают углы Эйлера. Вектор, соединяющий начало координат с некоторой точкой, движущейся вместе с системой $O x y z$, имеет до движения углы $\vartheta_{1}$ и $\varphi_{1}$, а после движения углы $\vartheta_{1}^{\prime}$ и $\varphi_{1}^{\prime}$. Обозначив $e^{i \varphi_{1}} \operatorname{tg} \frac{1}{2} \vartheta_{1}$ через $\zeta_{1}$ и $e^{i \varphi_{1}^{\prime}} \operatorname{tg} \frac{1}{2} \vartheta_{1}^{\prime}$ через $\zeta_{1}^{\prime}$, показать, что
\[
\zeta_{1} e^{i \psi}=\frac{\zeta_{1}^{\prime} e^{-i \varphi} \cos \frac{1}{2} \vartheta-\sin \frac{1}{2} \vartheta}{\zeta_{1}^{\prime} e^{-i \varphi} \sin \frac{1}{2} \vartheta+\cos \frac{1}{2} \vartheta} .
\]
ЗАДАчА 2. При помощи равенств
\[
\begin{array}{l}
X_{1}=\alpha x_{1}+\beta x_{2}, \\
X_{2}=\gamma x_{1}+\delta x_{2}
\end{array}
\]
составить выражения для величин $X_{1}^{2}, X_{2}^{2}, X_{1} X_{2}$, рассматривая их как чисто арифметические величины, затем величины $X_{1}^{2}, X_{2}^{2}, X_{1} X_{2}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{1} x_{2}$ заменить соответственно величинами $-Y+i X, Y+i X, Z,-y+i x, y+i x, z$ и показать, что полученные таким образом равенства:
\[
\begin{aligned}
-Y+i X & =\alpha^{2}(-y+i x)+2 \alpha \beta z+\beta^{2}(y+i x), \\
Y+i X & =\gamma^{2}(-y+i x)+2 \gamma \delta z+\delta^{2}(y+i x), \\
Z & =\alpha \gamma(-y+i x)+(\alpha \delta+\beta \gamma) z+\beta \delta(y+i x)
\end{aligned}
\]
определяют зависимость между координатами $X, Y, Z$ некоторой точки в системе $O X Y Z$ и ее координатами $x, y, z$ в системе $O x y z$.
ЗАДАчА 3. Пусть
\[
(-y+i x):(y+i x): z=\lambda \lambda^{\prime}: 1: \frac{1}{2}\left(\lambda+\lambda^{\prime}\right)
\]
и
\[
(-Y+i X):(Y+i X): Z=\lambda_{1} \lambda_{1}^{\prime}: 1: \frac{1}{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{1}^{\prime}\right) .
\]
Показать, что
\[
\lambda_{1}=\frac{\alpha \lambda+\beta}{\gamma \lambda+\delta} \quad \text { и } \quad \lambda_{1}^{\prime}=\frac{\alpha \lambda^{\prime}+\beta}{\gamma \lambda^{\prime}+\delta} .
\]
