Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Выше (§32) мы уже указывали, что дифференциальные уравнения движения динамических систем могут быть проинтегрированы при помощи рядов, расположенных по возрастающим степеням времени, отсчитываемого от некоторого определенного момента. Эти ряды сходятся в общем случае внутри некоторого конечного круга сходимости комплексной плоскости, вследствие чего они определяют значения координат только для ограниченного интервала времени. Можно, конечно, продолжить аналитически ${ }^{1}$ эти ряды и для значений времени, выходящих за этот интервал. Но метод аналитического продолжения практически очень сложен и к тому же получаемые при этом ряды не дают представления ни об общем характере движения, ни об его протекании в дальнейшем. Поэтому усилия многих исследователей были направлены к тому, чтобы получить такие ряды, которые сходились бы для всех значений времени. Пуанкаре ${ }^{2}$ удалось достигнуть этой цели путем преобразования комплексной $t$-плоскости. Если предположить, что движение системы всюду правильно (т. е. не имеют места ни взаимные столкновения каких-либо тел системы, ни какие-нибудь другие разрывы непрерывности) и координаты всегда конечны, то рассматриваемая система не будет иметь никаких особенностей на вещественной оси комплексной $t$-плоскости. Вследствие этого расходимость степенных рядов по ( $t-t_{0}$ ) имеет своей причиной существование особых точек решения, расположенных в круге конечного радиуса, но вне вещественной оси. Допустим, что ближайшая к вещественной оси особая точка отстоит от нее на расстоянии $h$. Введем новую переменную $\tau$ при помощи уравнения:
\[
t-t_{0}=\frac{2 h}{\pi} \ln \frac{1+\tau}{1-\tau} .
\]
Очевидно, что при таком преобразовании полоса ширины $h$, расположенная симметрично относительно вещественной оси, отображается во внутреннюю часть окружности $|\tau|=1 \tau$-плоскости. Поэтому координаты динамической системы, являющиеся внутри этого круга правильными функциями от $\tau$, могут быть разложены в степенные ряды по переменной $\tau$, сходящиеся внутри этого круга. Следовательно, эти ряды сходятся для всех действительных значений $\tau$, лежащих в интервале
${ }^{1}$ См. Уиттекер и Ватсон, Современный анализ, § 5, 5 .
${ }^{2}$ Acta Math., т. 4, стр. 211, 1884.
между -1 и +1 , т. е. для всех действительных значений $t$ между $-\infty$ и $+\infty$. Мы получили, таким образом, разложения, пригодные для всех значений $t$.
