Преобразуем теперь систему при помощи контактного преобразования таким образом, чтобы $H_{2}$ приняла возможно более простой вид ${ }^{1}$, а именно, чтобы новые переменные соответствовали нормальным координатам в задаче малых колебаний:
Рассмотрим систему из $2 n$ уравнений:
\[
\left.\begin{array}{r}
s y_{r}+\frac{\partial}{\partial x_{r}} H_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)=0, \\
-s x_{r}+\frac{\partial}{\partial y_{r}} H_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)=0
\end{array}\right\}(r=1,2, \ldots, n)
\]

или
\[
\left.\begin{array}{rl}
-s y_{r} & =a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}+b_{r 1} y_{1}+ \\
& +b_{r 2} y_{2}+\cdots+b_{r n} y_{n}, \\
s x_{r} & =b_{1 r} x_{1}+b_{2 r} x_{2}+\cdots+b_{n r} x_{n}+c_{r 1} y_{1}+ \\
& +c_{r 2}+\cdots+c_{r n} y_{n}
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Решая эти уравнения, мы получим для $s$ детерминантное уравнение, которое мы обозначили в $\S 84$ через $f(s)=0$. Мы будем предполагать, что $H_{2}$ есть определенная положительная форма, и обозначим корни этого уравнения через $\pm i s_{1}, \pm i s_{2}, \ldots, \pm i s_{n}$. Величины $s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{n}$ действительны, и мы будем предполагать для простоты, что все они различны.

Каждому корню соответствует система значений для отношений величин $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$. Обозначая систему значений, соответствующую корню $i s_{r}$, через ${ }_{r} x_{1},{ }_{r} x_{2}, \ldots,{ }_{r} x_{n},{ }_{r} y_{1},{ }_{r} y_{2}, \ldots,{ }_{r} y_{n}$, а систему значений, соответствующую корню $-i s_{r}$, через $-{ }_{r} x_{1},-{ }_{r} x_{2}, \ldots$, ${ }_{-} x_{n},-{ }_{r} y_{1},-{ }_{r} y_{2}, \ldots,-{ }_{r} y_{n}$, будем иметь:
${ }^{1} \mathrm{~B}$ преобразовании этого параграфа использован метод, подсказанный автору Бромвичем и дающий преобразование более прямым путем, чем оригинально придуманный метод.

Умножая эти уравнения соответственно на ${ }_{k} x_{p}$ и ${ }_{k} y_{p}$, складывая и суммируя по $p$, мы получим уравнение:
\[
i s_{r} \sum_{p=1}^{n}\left({ }_{r} x_{p k} y_{p}-{ }_{k} x_{p r} y_{p}\right)=H(r, k) \text {, }
\]

где
\[
\begin{array}{l}
H(r, k)=a_{11 r} x_{1 k} x_{1}+a_{12}\left({ }_{r} x_{1 k} x_{2}+{ }_{k} x_{1 r} x_{2}\right)+\cdots \\
\cdots+b_{11}\left({ }_{r} x_{1 k} y_{1}+{ }_{k} x_{1 r} y_{1}\right)+\cdots+c_{11 r} y_{1 k} y_{1}+\cdots,
\end{array}
\]

так что $H(r, k)$ симметрична относительно $r$ и $k$.
Перестановка $r$ и $k$ дает:
\[
i s_{k} \sum_{p=1}^{n}\left({ }_{k} x_{p r} y_{p}-{ }_{r} x_{p k} y_{p}\right)=H(r, k),
\]

откуда
\[
\left(s_{r}+s_{k}\right) \sum_{p=1}^{n}\left({ }_{k} x_{p r} y_{p}-{ }_{r} x_{p k} y_{p}\right)=0 .
\]

Поэтому, если $s_{r}+s_{k}
eq 0$, то
\[
\sum_{p=1}^{n}\left({ }_{r} x_{p k} y_{p}-{ }_{k} x_{p r} y_{p}\right)=0
\]

и, следовательно, $H(r, k)=0$. Если $s_{r}+s_{k}=0$, то
\[
{ }_{k} x_{p}={ }_{-r} x_{p}, \quad{ }_{k} y_{p}={ }_{-r} y_{p}
\]

и поэтому
\[
i s_{r} \sum_{p=1}^{n}\left({ }_{r} x_{p-r} y_{p}-{ }_{-r} x_{p r} y_{p}\right)=H(r,-r) \text {. }
\]

Если мы теперь определим новые переменные $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, p_{1}^{\prime}$, $p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$ при помощи уравнений:
\[
\left.\begin{array}{rl}
q_{r} & ={ }_{1} x_{r} q_{1}^{\prime}+{ }_{2} x_{r} q_{2}^{\prime}+\cdots+{ }_{n} x_{r} q_{n}^{\prime}+ \\
& +{ }_{-1} x_{r} p_{1}^{\prime}+\cdots+{ }_{-n} x_{r} p_{n}^{\prime} \\
p_{r} & ={ }_{1} y_{r} q_{1}^{\prime}+{ }_{2} y_{r} q_{2}^{\prime}+\cdots+{ }_{n} y_{r} q_{n}^{\prime}+ \\
& +{ }_{-1} y_{r} p_{1}^{\prime}+\cdots+{ }_{-n} y_{r} p_{n}^{\prime}
\end{array}\right\} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]
\[
(r=1,2, \ldots, n)
\]

и обозначим через $\delta$ и $\Delta$ два любых независимых типа вариаций, то коэффициент при $\delta q_{T}^{\prime} \Delta p_{k}^{\prime}$ в выражении $\sum_{l=1}^{n}\left(\delta q_{l} \Delta p_{l}+\Delta q_{l} \delta p_{l}\right)$ будет равен $\sum_{l=1}^{n}\left({ }_{r} x_{l-k} y_{l}-{ }_{-k} x_{l r} y_{l}\right)$ и обратится поэтому в нуль, если $r$ отличен от $k$. Поэтому выражение:
\[
\sum_{l=1}^{n}\left(\delta q_{l} \Delta p_{l}+\Delta q_{l} \delta p_{l}\right)
\]

содержит только члены вида $\delta q_{r}^{\prime} \Delta p_{r}^{\prime}-\Delta q_{r}^{\prime} \delta p_{r}^{\prime}$. Коэффициенты при этих членах равны:
\[
\sum_{l=1}^{n}\left({ }_{r} x_{l-r} y_{l}-{ }_{-r} x_{l r} y_{l}\right)
\]

Действительные значения величин ${ }_{r} x_{l},{ }_{r} y_{l}$ еще точно не определены. Пока только определены их отношения. Эти значения могут быть определены таким образом, чтобы имело место соотношение:
\[
\sum_{l=1}^{n}\left({ }_{r} x_{l-r} y_{l}-{ }_{-r} x_{l r} y_{l}\right)=1 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Тогда будем иметь:
\[
\sum_{l=1}^{n}\left(\delta q_{l} \Delta p_{l}-\Delta q_{l} \delta p_{l}\right)=\sum_{r=1}^{n}\left(\delta q_{r}^{\prime} \Delta p_{r}^{\prime}-\Delta q_{r}^{\prime} \delta p_{r}^{\prime}\right)
\]

и, следовательно, рассматриваемое преобразование к новым переменным $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$ является контактным ( $\S 128$ ). Величина $H_{2}$, выраженная в новых переменных, принимает вид:
\[
H_{2}=\sum_{r=1}^{n} H(r,-r) q_{r}^{\prime} p_{r}^{\prime}
\]

или
\[
H_{2}=i \sum_{r=1}^{n} s_{r} q_{r}^{\prime} p_{r}^{\prime}
\]

Преобразуем теперь переменные $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{n}^{\prime}, p_{1}^{\prime}, p_{2}^{\prime}, \ldots, p_{n}^{\prime}$ при помощи контактного преобразования, определяемого уравнениями:
\[
q_{r}^{\prime \prime}=\frac{\partial W}{\partial p_{r}^{\prime \prime}}, \quad p_{r}^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial q_{r}^{\prime}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
W=\sum_{r=1}^{n}\left(p_{r}^{\prime \prime} q_{r}^{\prime}+\frac{1}{2} \frac{i p_{r}^{\prime \prime 2}}{s_{r}}-\frac{1}{4} i s_{r}{q_{r}^{\prime 2}}^{2}\right),
\]

тогда получим:
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \sum_{r=1}^{n}\left(p_{r}^{\prime \prime 2}+s_{r}^{2} q_{r}^{\prime \prime^{2}}\right) .
\]

Так как все преобразования, которыми мы пользовались, – линейны, то величины $H_{3}, H_{4}, \ldots$ будут опять однородными формами третьего, четвертого,… порядков относительно новых переменных. Опуская снова штрихи, мы приходим окончательно к следующему результату: Уравнения движения динамической системы приведены к виду:
\[
\frac{d q_{r}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}, \quad \frac{d p_{r}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где
\[
H=H_{2}+H_{3}+H_{4}+\cdots,
\]

причем $H_{r}$ есть форма $r$-го порядка и, в частности,
\[
H_{2}=\frac{1}{2} \sum_{r=1}^{n}\left(p_{r}^{2}+s_{r}^{2} q_{r}^{2}\right)
\]

Если пренебречь величинами $H_{3}, H_{4}, \ldots$ по сравнению с $H_{2}$ и проинтегрировать полученные уравнения, то полученное решение будет, очевидно, совпадать с решением $\S 84$.