Мгновенное положение твердого тела, непрерывно вращающегося вокруг неподвижной точки $O$, удобней всего характеризовать при помощи двух систем координат: системы $O X Y Z$, неподвижной в пространстве, и системы $O x y z$, неизменно связанной с телом и вращающейся вместе с ним. Тогда положение тела определяется тремя углами Эйлера: $\vartheta, \varphi, \psi$, характеризующими положение системы $O X Y Z$ относительно системы $O x y z$. Вычислим для любого момента времени $t$ компоненты угловой скорости тела относительно подвижных осей.

Пусть $O K$ означает прямую пересечения плоскостей $X O Y$ и $x O y$. Угловая скорость тела складывается, очевидно, из угловых скоростей $\dot{\vartheta}$ вокруг $O K, \dot{\varphi}$ вокруг $O Z$ и $\dot{\psi}$ вокруг $O z$. Первую из этих скоростей можно разложить на угловые скорости $\dot{\vartheta} \sin \psi$ вокруг $O x$ и $\dot{\vartheta} \cos \psi$ вокруг $O y$, вторую — на угловые скорости — $\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi$ вокруг $O x, \dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi$ вокруг $O y$ и $\dot{\varphi} \cos \vartheta$ вокруг $O z$. Обозначая через $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ компоненты угловой скорости тела относительно осей $O x, O y, O z$, будем окончательно иметь:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=\dot{\vartheta} \sin \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \cos \psi, \\
\omega_{2}=\dot{\vartheta} \cos \psi-\dot{\varphi} \sin \vartheta \sin \psi, \\
\omega_{3}=\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta .
\end{array}
\]

Из этих формул мы можем выразить $\omega_{1}, \omega_{2}$ и $\omega_{3}$ как функции симметрических параметров $\xi, \eta, \zeta, \chi \S 9$. Ибо мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\dot{\varphi} & =\frac{d}{d t}\left(\frac{\psi+\varphi}{2}\right)-\frac{d}{d t}\left(\frac{\psi-\varphi}{2}\right)= \\
& =\frac{d}{d t}\left(\operatorname{arctg} \frac{\zeta}{\chi}\right)-\frac{d}{d t}\left(\operatorname{arctg} \frac{\xi}{\eta}\right)=\frac{\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi}}{\xi^{2}+\eta^{2}}+\frac{\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}}{\zeta^{2}+\chi^{2}} .
\end{aligned}
\]

Аналогично получаем:
\[
\dot{\psi}=\frac{-\xi \dot{\eta}+\eta \dot{\xi}}{\xi^{2}+\eta^{2}}+\frac{\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}}{\zeta^{2}+\chi^{2}}
\]

Кроме того, имеем:
\[
\cos \vartheta=-\xi^{2}-\eta^{2}+\zeta^{2}+\chi^{2} .
\]

Подставляя эти значения в формулу $\omega_{3}=\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \vartheta$, получаем:
\[
\omega_{3}=2(\eta \dot{\xi}-\xi \dot{\eta}+\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}) .
\]

Аналогично можно получить и выражения для величин $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$; следовательно, для определения $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}$ имеем следующие равенства:
\[
\begin{aligned}
\omega_{1} & =2(\chi \dot{\xi}+\zeta \dot{\eta}-\eta \dot{\zeta}-\xi \dot{\chi}), \\
\omega_{2} & =2(-\zeta \dot{\xi}+\chi \dot{\eta}+\xi \dot{\zeta}-\eta \dot{\chi}), \\
\omega_{3} & =2(\eta \dot{\xi}-\xi \dot{\eta}+\chi \dot{\zeta}-\zeta \dot{\chi}) .
\end{aligned}
\]