Если решение системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{r}}{d t}=X_{r}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}, t\right) \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

известно, то легко составить ее относительные и абсолютные интегральные инварианты.
В самом деле, пусть
\[
\begin{array}{l}
y_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right)=c_{1}, \\
y_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t\right)=c_{2}, \\
\left.\cdots \ldots, x_{n}, t\right)=c_{n}
\end{array}
\]
(где $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ — постоянные) суть $n$ интегралов системы. Тогда, очевидно, абсолютные интегральные инварианты первого порядка задаются выражением:
\[
\int\left(N_{1} \delta y_{1}+N_{2} \delta y_{2}+\ldots+N_{n} \delta y_{n}\right)
\]

где $N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{n}$ суть произвольные функции переменных $y_{1}, y_{2}, \ldots$, $y_{n}$, не зависящие явно от времени. Относительные интегральные инварианты задаются выражением:
\[
\int\left(N_{1} \delta y_{1}+N_{2} \delta y_{2}+\ldots+N_{n} \delta y_{n}+\delta F\right),
\]

где $F$ — произвольная функция переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, t$, так как член $\int \delta F$ для всякого замкнутого контура равен нулю.

Отсюда следует, что всякая система дифференииальных уравнений имеет бесчисленное множество относительных и абсолютных интегральных инвариантов первого порядка.