1. Пусть $\varphi$ означает некоторую функцию переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ динамической системы, обладающей интегралом энергии:
\[
H\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\right)=\text { const, }
\]
$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}$ суть значения величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ при $t=t_{0}$, а $\{t, g\}$ – значение скобки Пуассона $(f, g)$,

если в ней величины $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ заменить соответственно через $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}$. Показать, что
\[
\begin{array}{c}
\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right)=\varphi\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}\right)+ \\
+\left(t-t_{0}\right)\{\varphi, H\}+\frac{\left(t-t_{0}\right)}{2 !}\{\{\varphi, H\}, H\}+\cdots
\end{array}
\]
2. Показать, что динамическая система с уравнениями движения:
\[
\frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q}
\]

где
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}+\frac{l^{4} k^{2}}{2 q^{2}}-\frac{l^{3} k^{2}}{q},
\]

допускает семейство решений, которые при пренебрежении членами порядка высшего чем $\alpha^{\frac{3}{2}}$ могут быть представлены в виде:
\[
q=l+\frac{3 \alpha}{k l}+\left(\frac{2 \alpha}{k}\right)^{\frac{1}{2}} \cos \beta-\frac{3 \alpha}{2 k l} \cos 2 \beta
\]

где
\[
\beta=-\left(k+\frac{a \alpha}{2 b^{2}}\right) t+\varepsilon
\]

а $\alpha$ и $\varepsilon$ – произвольные постоянные.