В общем случае уравнения движения динамической системы не могут быть разрешены в конечной форме при помощи известных функций. Но, однако, всегда возможно (за исключением некоторых особых случаев, которые мы здесь не рассматриваем) систему дифференциальных уравнений проинтегрировать при помощи степенных рядов, т. е. найти для зависимых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ выражения следующего вида:
\[
\begin{array}{c}
q_{1}=a_{1}+b_{1} t+c_{1} t^{2}+d_{1} t^{3}+\ldots, \\
q_{2}=a_{2}+b_{2} t+c_{2} t^{2}+d_{2} t^{3}+\ldots, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
q_{n}=a_{n}+b_{n} t+c_{n} t^{2}+d_{n} t^{3}+\ldots
\end{array}
\]

При этом коэффициенты $a, b, \ldots$ могут быть найдены путем подстановки этих рядов в дифференциальные уравнения и приравнивания нулю коэффициентов при различных степенях $t$. Разложения получаются сходящимися для всех значений $t$, лежащих в определенном круге сходимости комплексной плоскости.

Очевидно, что эти ряды вполне характеризуют начальный характер движения. В самом деле, если $t$ отсчитывать от начала движения, то $a_{1}, b_{1}, \ldots$ являются соответственно начальными значениями величин $q_{1}, \dot{q}_{1}, \ldots$ Следующий пример показывает, как можно исследовать при помощи этого метода начальное движение системы.
ПримеР. Точка массы 1 , движущаяся по плоскости, находится в начальный момент в покое. На нее действует сила, которая в произвольной точке $(x, y)$ имеет по неподвижным прямоугольным осям компоненты $X$ и $Y$. Определить радиус кривизны траектории в начале движения.

Пусть $x+\xi$ и $y+\eta$, где $\xi$ и $\eta$ бесконечно малые величины, суть координаты точки, бесконечно близкой к исходной точке $(x, y)$. Тогда уравнения движения имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}=X(x+\xi, y+\eta)=X(x, y)+\xi \frac{\partial X(x, y)}{\partial x}+\eta \frac{\partial X(x, y)}{\partial y}+\ldots, \\
\ddot{\eta}=Y(x, y)+\xi \frac{\partial Y(x, y)}{\partial x}+\eta \frac{\partial Y(x, y)}{\partial y}+\ldots
\end{array}
\]

Полагаем
\[
\begin{array}{l}
\xi=a t^{2}+b t^{3}+c t^{4}+\ldots, \\
\eta=d t^{2}+e t^{3}+f t^{4}+\ldots
\end{array}
\]
( $\xi$ и $\eta$ не содержат членов ниже второй степени, так как при $t=0$, $\xi, \eta, \dot{\xi}, \dot{\eta}$ обращаются в нуль). Подставляя эти разложения в дифферен-

циальные уравнения и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях $t$, получим следующие соотношения:
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{1}{2} X(x, y), \quad b=0, \quad c=\frac{1}{24}\left(X \frac{\partial X}{\partial x}+Y \frac{\partial X}{\partial y}\right), \\
d=\frac{1}{2} Y(x, y), \quad e=0, \quad f=\frac{1}{24}\left(X \frac{\partial Y}{\partial x}+Y \frac{\partial Y}{\partial y}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому траектория вблизи точки $(x, y)$ определяется рядами:
\[
\begin{array}{l}
\xi=X u+\frac{1}{6}\left(X \frac{\partial X}{\partial x}+Y \frac{\partial X}{\partial y}\right) u^{2}+\cdots \\
\eta=Y u+\frac{1}{6}\left(X \frac{\partial Y}{\partial x}+Y \frac{\partial Y}{\partial y}\right) u^{2}+\cdots
\end{array}
\]

где $u=\frac{1}{2} t^{2}$.
Если координаты $\xi, \eta$ точек кривой выражены через параметр, то, как известно, радиус кривизны имеет выражение:
\[
\frac{\left\{\left(\frac{d \xi}{d u}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta}{d u}\right)\right\}^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} \eta}{d u^{2}} \frac{d \xi}{d u}-\frac{d^{2} \xi}{d u^{2}} \frac{d \eta}{d u}} .
\]

Отсюда для искомого радиуса кривизны траектории вблизи начальной точки $u=0$ находим значение:
\[
\frac{3\left(X^{2}+Y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{\left(X \frac{\partial Y}{\partial x}+Y \frac{\partial Y}{\partial y}\right) X-\left(X \frac{\partial X}{\partial x}+Y \frac{\partial X}{\partial y}\right) Y} .
\]