В некоторых случаях, например, при ударе твердых тел, скорости материальных точек динамической системы изменяются настолько быстро, что при аналитическом представлении явления можно пренебречь промежутком времени, в течение которого оно происходит.
Законы ${ }^{1}$ такого рода импульсивных движений обладают далеко идущей аналогией с движениями, вызываемыми длительно действующими силами, и могут быть выражены следующим образом.
Произведение массы материальной точки на вектор ее мгновенной скорости есть вектор, приложенный в этой точке, называющейся ее мгновенным количеством движения ${ }^{2}$. Компоненты количества движения точки массы $m$ по осям координат равны, очевидно, $m \dot{x}, m \dot{y}, m \dot{z}$. Компонентом количества движения системы материальных точек по какому-нибудь направлению называется сумма компонентов по тому же направлению количеств движения всех точек системы, взятых в отдельности. Импульсивное изменение скоростей в системе может быть
${ }^{1}$ Они содержатся в законах удара, открытых в 1668 г. Валлисом и Вреном (Phil. Trans. № 43, стр. 864, 867).
2у Ньютона (Principia, Lib. I) – quantitas motus. Идея этого понятия может быть прослежена до Декарта.
рассматриваемо как следствие внезапных добавлений количеств движения к отдельным точкам системы.
Эффект воздействия, вызывающего импульсивное движение системы, измеряется количеством движения, которое оно сообщает свободной материальной точке. Если компоненты скорости по неподвижным осям какой-нибудь точки массы $m$ имели до импульса значения $u_{0}, v_{0}, w_{0}$, а после импульса значения $u, v, w$, то вектор с компонентами
\[
m\left(u-u_{0}\right), \quad m\left(v-v_{0}\right), \quad m\left(\omega-\omega_{0}\right)
\]
(приложенный в точке $m$ ) представляет собой импульс, действующий на точку. Для исследования импульсивного движения системы связанных точек необходим, очевидно, экспериментальный закон, аналогичный закону действия и противодействия для обыкновенных сил. Этот закон выражается следующим образом: Полный импульс, действующий на каждую отдельную материальную точку системы, складывается из внешнего импульс и импульсов, направленных по линиям, соединяющим ее с остальными точками системы, воздействующими, вследствие наличия связей, на ее движение. Внешний импуль, т. е. импульс, сообценный точке извне, измеряется количеством движения, которое эта точка получила бы, если бы она была совершенно свободной. Импульсы, сообщаемые друг другу двумя связанными материальными точками, равны по величине, но направлены в противоположные стороны.
Если компоненты импульса рассматривать как интегралы по времени от компонентов обыкновенной силы весьма большой величины, но действующей очень короткий промежуток времени, то высказанный закон согласуется с обычным законом действия и противодействия для конечных сил.
Изменение кинетической энераии вследствие импулсов. Изменение кинетической энергии динамической системы, на точки которой действует заданная последовательность импульсов, может быть определена следующим образом.
Допустим, что к точке массы $m$ приложен импульс $I$, имеющий относительно неподвижной системы осей направляющие косинусы $\lambda, \mu,
u$. Под действием этого импульса скорость точки, имевшая значение $v_{0}$ и направляющие косинусы $L_{0}, M_{0}, N_{0}$ примет значение $v$ и будет направлена по прямой с направляющими косинусами $L, M, N$. Уравнения импульсивного движения есть суть:
\[
m\left(v L-v_{0} L_{0}\right)=I \lambda, \quad m\left(v M-v_{0} M_{0}\right)=I \mu, \quad m\left(v N-v_{0} N_{0}\right)=I
u .
\]
\[
\frac{1}{2}\left(v L-v_{0} L_{0}\right), \quad \frac{1}{2}\left(v M-v_{0} M_{0}\right), \quad \frac{1}{2}\left(v N-v_{0} N_{0}\right)
\]
и складывая, получим:
\[
\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m v_{0}^{2}=\frac{1}{2} I v(L \lambda+M \mu+N
u)+\frac{1}{2} I v_{0}\left(L_{0} \lambda+M_{0} \mu+N_{0}
u\right) .
\]
Следовательно, изменение кинетической энергии точки равно произведению из импульса на среднее арифметическое значение компонента скорости, по направлению импульса до и после действия импульса.
Рассмотрим теперь динамическую систему, состоящую из связанных материальных точек и твердых тел, которой сообщена заданная последовательность импульсов. Применяя предшествующий результат к каждой отдельной частице системы и суммируя, найдем, что изменение кинетической энергии системы равно сумме произедений импульсов на среднее арифметическое значение компонентов скоростей точек приложения до и после импульса на направление импульса. При этом, очевидно, не следует принимать в расчет взаимных импульсов молекул твердых тел.
