Выше мы указывали, что вблизи устойчивого положения равновесия или стационарного состояния движения должно вообще существовать семейство периодических решений, а именно нормальные колебания около положения устойчивого равновесия или стационарного состояния движения. Мы приложим эту идею к лагранжеву частному решению ограниченной задачи трех тел и получим, таким образом, определенные системы периодических траекторий планетоидов.

Пусть $S$ и $J$ означают тела, имеющие конечные массы, которые мы обозначим через $m_{1}$ и $m_{2}, O$ – центр тяжести этих тел, $n$ – угловая скорость прямой $S J$, а $x$ и $y$ – координаты планетоида $P$ относительно системы координат, начало которой совпадает с $O$, а ось $x$ – с прямой $S J$. Уравнения движения планетоида имеют вид (§162):
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial K}{\partial u}, \quad \frac{d y}{d t}=\frac{\partial K}{\partial v}, \quad \frac{d u}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial x}, \quad \frac{d v}{d t}=-\frac{\partial K}{\partial y},
\]

где
\[
K=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}\right)+n(u y-v x)-\frac{m_{1}}{S P}-\frac{m_{2}}{J P} .
\]

Обозначим через $a$ и $b$ значения $x$ и $y$ в рассматриваемом относительном движении равновесия. Тогда для коллинеарного случая $b=0$, а для эквидистантного случая:
\[
a=\frac{1}{2} \frac{l\left(m_{1}-m_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}}, \quad b=\frac{1}{2} \sqrt{3 l},
\]

где $l$ означает расстояние $S J$, так что ( $\$ 46$ ):
\[
m_{1}+m_{2}=n^{2} l^{3} .
\]

Нетрудно видеть, что в положении относительного равновесия $u$ и $v$ имеют соответственно значения $-n b$ и $n a$.
Положим:
\[
x=a+\xi, \quad y=b+\eta, \quad u=-n b+\vartheta, \quad v=n a+\varphi,
\]

где $\xi, \eta, \vartheta, \varphi$ предполагаются очень малыми. Тогда, отбрасывая один постоянный член, будем иметь:
\[
\begin{aligned}
K= & \frac{1}{2}\left(\vartheta^{2}+\varphi^{2}\right)+n(\eta \vartheta-\xi \varphi)-n^{2}(a \xi+b \eta)-m_{1}\left\{\left(a+\frac{m_{2} l}{m_{1}+m_{2}}+\xi\right)^{2}+\right. \\
& \left.+(b+\eta)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}}-m_{2}\left\{\left(a+\frac{m_{1} l}{m_{1}+m_{2}}+\xi\right)^{2}+(b+\eta)^{2}\right\}^{-\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
\]

Разлагая это выражение и отбрасывая члены выше второго порядка малости, мы получим выражение для $K$, которое позволит нам составить уравнения колебаний около положения относительного равновесия. Рассмотрим случай колебаний около эквидистантной конфигурации. В этом случае имеем:
\[
\begin{array}{c}
K=\frac{1}{2}\left(\vartheta^{2}+\varphi^{2}\right)+n(\eta \vartheta-\xi \varphi)-\frac{n^{2}}{8\left(m_{1}+m_{2}\right)}\left\{4\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)-\right. \\
\left.-3 m_{1}(\xi+\sqrt{3} \eta)^{2}-3 m_{2}(\xi-\sqrt{3} \eta)^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Уравнениями движения будут:
\[
\dot{\xi}=\frac{\partial K}{\partial \vartheta}, \quad \dot{\eta}=\frac{\partial K}{\partial \varphi}, \quad \dot{\vartheta}=-\frac{\partial K}{\partial \xi}, \quad \dot{\varphi}=-\frac{\partial K}{\partial \eta} .
\]

Применяя к решению этих уравнений метод, изложенный в гл. VII для периода нормальных колебаний, мы найдем значение $\frac{2 \pi}{\lambda}$, где $\lambda-$ корень уравнения:
\[
\lambda^{4}-n^{2} \lambda^{2}+\left(\frac{27}{16}-k^{2}\right) n^{4}=0, \quad \text { где } k=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\]

Оба значения $\lambda^{2}$, определяемые этим уравнением, в случае если они вещественны, будут положительны, так как $\left(\frac{27}{16}-k^{2}\right)>0$. Действительными эти значения будут тогда, когда $4\left(\frac{27}{16}-k^{2}\right)<1$, т. е. тогда, когда $\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}>27 m_{1} m_{2}$. Последнее же условие будет всегда выполняться, если масса одного из тел $S, J$ достаточно велика по сравнению с массой другого. Если это условие выполнено, то существуют два семейства периодических траекторий планетоида вблизи его эквидистантной конфигурации относительного равновесия. Периоды в первом приближении суть $\frac{2 \pi}{\lambda_{1}}$ и $\frac{2 \pi}{\lambda_{2}}$, где $\lambda_{1}^{2}$ и $\lambda_{2}^{2}$ – корни квадратного относительно $\lambda^{2}$ уравнения:
\[
\lambda^{4}-n^{2} \lambda^{2}+\left(\frac{27}{16}-k^{2}\right) n^{4}=0 .
\]

Эти траектории изучены различными исследователями при помощи численного интегрирования.
ЗАДАчА 1. Показать, что постоянная относительной энергии нормальных колебаний планетоидов около эквидистантной конфигурации для одного вида колебаний больше, а для другого вида меньше, чем для относительного равновесия. (Charlier.)

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что коллинеарная конфигурация неустойчива. Тем не менее уравнение для периодов нормальных колебаний имеет всегда один действительный корень и потому вблизи положения относительного равновесия планетоида на прямой SJ существует семейство неустойчивых периодических траекторий.
Эти траектории изучены при помощи численного интегрирования.
Рис. 7
Пусть $S$ и $J$ – тела конечной массы, а $P$ точка «либрации» за $J$, в которой планетоид может оставаться в относительном равновесии. Около этой точки имеется последовательность периодических траекторий (рис. 7), распространяющаяся до траектории «столкновения», открытой Бёрpоy (Burrau), на которой планетоид сталкивается с $J$ и отскакивает от него. За траекторией столкновения находятся траектории, делающие петли вокруг $J$, и, как это показал Стрёмгрен из Копенгагенской обсерватории со своими сотрудниками, после многочисленных изменений типа мы снова приходим к первоначальной простой траектории вокруг $P$, так что последовательность возвращается к самой себе, и мы получаем непрерывный полный замкнутый ряд периодических траекторий.

Относительно дальнейшей литературы о траекториях вблизи лагранжевых частных решений и об ограниченной задаче трех тел см. ст. автора в «Encyklopädie», стр. 530; далее E. O. Lovett, Astr. Nach.. 159, стр. 281, 1902; F.R.Moulton, Proc. L. M. S. (2), т. 11, стр. 367, 1912; Math. Ann., т. 73, cтp. 441, 1912; Proc. Inter. Cong. of Math., т. 2, стр. 182, Cambridge 1912; Periodic Orbits., Washington 1920.
[В этой книге дается обзор исследований самого Мультона, а также У. Д. Мак-Миллана ( W. D. Mc Millan), Т. Бука (T.Buck), Д. Буханана (D. Buchanan), У.Р.Лонглея (W.R.Longley) и Ф.Л.Гриффина (F.L.Griffin)]. W. W. Heinrich, Bull. Astron. (2), т. 2, стр. 425; Memoirs of the Royal Soc. of Sciences of Bohemia, Prague 1922; Publications de l’Institut astron. de l’Univ. Charles de Prague (2), № 1, 1923; различные мемуары E. Haerdtl, G. Pavanini, L. A. H. Warren, J. Chazy, L. Amoroso, J. Fischer-Petersen, P. Pedersen; K. Bohlin; Astron. Jakkt. a Stockholms Observatorium, т. 10, № 11, 1923; ряд работ Е. Стрёмгрена и его школы в «Publikationer fra Köbenhavns observatorium».