При $n>1$ наиболее важным случаем будет тот, при котором каждая из функций $f$ есть сумма некоторой однородной и квадратичной относительно $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ функции $F_{r}$ и некоторой функции $G_{r}$, не зависящей от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$. Предстоит, следовательно, исследовать, будут ли уравнения
\[
\ddot{q}_{r}=F_{r}+G_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

эквивалентны системе:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

где $T$ — однородная и квадратичная функция от $\dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \ldots, \dot{q}_{n}$ с коэффициентами, зависящими от $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, а $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$ суть функции одних лишь величин $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$.

Очевидно, что $T$ не зависит от функций $G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}$. Поэтому мы можем принять, что все эти функции равны нулю, и придать задаче следующую постановку: определить такую функцию $T$, чтобы уравнения
\[
\ddot{q}_{r}=F_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n)
\]

были эквивалентны системе:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Задача приводится к вопросу о существовании функции $T$, удовлетворяющей уравнениям с частными производными:
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{k}} F_{k}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{r} \partial q_{k}} \dot{q}_{k}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как $F_{k}$ — однородна, то $\sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}}=2 F_{k}$; следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{k}} F_{k}=\frac{1}{2} \sum_{s=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{k}}= \\
=\sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}\right)-\sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} F_{k}}{\partial \dot{q}_{s} \partial \dot{q}_{r}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}(r=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Но так как $\frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{r}}$ есть линейная однородная функция, то
\[
\frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{r}} \sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial^{2} F_{k}}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{s}}
\]

и поэтому
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{k}} F_{k}=\sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}\right)-\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{r}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}} .
\]

Следовательно, уравнения, которым должна удовлетворять функция $T$, могут быть представлены в виде:
\[
\begin{aligned}
\sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}\right) & -\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{r}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}+ \\
& +\sum_{s=1}^{n} \frac{\partial^{2} T}{\partial \dot{q}_{r} \partial \dot{q}_{s}} \dot{q}_{s}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n)
\end{aligned}
\]

или
\[
\begin{array}{r}
\sum_{s=1}^{n} \dot{q}_{s} \frac{\partial}{\partial \dot{q}_{r}}\left(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}+\frac{\partial T}{\partial q_{s}}\right)-\left(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{s}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}+\frac{\partial T}{\partial q_{r}}\right)=0 \\
(r=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Очевидно, они могут быть заменены уравнениями:
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial F_{k}}{\partial \dot{q}_{r}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}+\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]

Полаган снова $f_{r}=G_{r}+F_{r}$, получим теорему: Если система уравнений
\[
\ddot{q}_{r}=f_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

дде $f_{r}$ есть сумма двух функций, из которых одна является квадратичной относительно скоростей, а другая не содержит их, может быть преобразована к виду:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=Q_{r} \quad(r=1,2, \ldots, n),
\]

то функция т есть интеграл системы:
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f_{k}}{\partial \dot{q}_{r}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}}+\frac{\partial T}{\partial q_{r}}=0 \quad(r=1,2, \ldots, n) .
\]