При $n>1$ наиболее важным случаем будет тот, при котором каждая из функций $f$ есть сумма некоторой однородной и квадратичной относительно ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$ функции $F_r$ и некоторой функции $G_r$, не зависящей от ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$. Предстоит, следовательно, исследовать, будут ли уравнения
$${\ddot{q}}_r=F_r+G_r(r=1,2,\dots ,n)$$

эквивалентны системе:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}=Q_r(r=1,2,\dots ,n),$$

где $T$ — однородная и квадратичная функция от ${\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_n$ с коэффициентами, зависящими от $q_1,q_2,\dots ,q_n$, а $Q_1,Q_2,\dots ,Q_n$ суть функции одних лишь величин $q_1,q_2,\dots ,q_n$.

Очевидно, что $T$ не зависит от функций $G_1,G_2,\dots ,G_n$. Поэтому мы можем принять, что все эти функции равны нулю, и придать задаче следующую постановку: определить такую функцию $T$, чтобы уравнения
$${\ddot{q}}_r=F_r(r=1,2,\dots ,n)$$

были эквивалентны системе:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}=0(r=1,2,\dots ,n).$$

Задача приводится к вопросу о существовании функции $T$, удовлетворяющей уравнениям с частными производными:
$$\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\dot{q}}_r\partial {\dot{q}}_k}{F}_k+\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\dot{q}}_r\partial q_k}{\dot{q}}_k-\frac{\partial T}{\partial q_r}=0(r=1,2,\dots ,n).$$

Так как $F_k$ — однородна, то $\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}=2F_k$; следовательно,
$$\begin{array}{c}\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\dot{q}}_r\partial {\dot{q}}_k}{F}_k=\frac{1}{2}\sum _{s=1}^n\sum _{k=1}^n{\dot{q}}_s\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\dot{q}}_r\partial {\dot{q}}_k}=\\ =\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_r}\left(\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^2{F}_k}{\partial {\dot{q}}_s\partial {\dot{q}}_r}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}(r=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Но так как $\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_r}$ есть линейная однородная функция, то
$$\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_r}\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{{\partial }^2{F}_k}{\partial {\dot{q}}_r\partial {\dot{q}}_s}$$

и поэтому
$$\sum _{k=1}^n\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\dot{q}}_r\partial {\dot{q}}_k}{F}_k=\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_r}\left(\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_r}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}.$$

Следовательно, уравнения, которым должна удовлетворять функция $T$, могут быть представлены в виде:
$$\begin{array}{rl}\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_r}\left(\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)& -\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_r}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}+\\ & +\sum _{s=1}^n\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\dot{q}}_r\partial {\dot{q}}_s}{\dot{q}}_s-\frac{\partial T}{\partial q_k}=0(r=1,2,\dots ,n)\end{array}$$

или
$$\begin{array}{r}\sum _{s=1}^n{\dot{q}}_s\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_r}(\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}+\frac{\partial T}{\partial q_s})-(\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_s}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}+\frac{\partial T}{\partial q_r})=0\\ (r=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Очевидно, они могут быть заменены уравнениями:
$$\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial F_k}{\partial {\dot{q}}_r}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}+\frac{\partial T}{\partial q_r}=0(r=1,2,\dots ,n).$$

Полаган снова $f_r=G_r+F_r$, получим теорему: Если система уравнений
$${\ddot{q}}_r=f_r(r=1,2,\dots ,n),$$

дде $f_r$ есть сумма двух функций, из которых одна является квадратичной относительно скоростей, а другая не содержит их, может быть преобразована к виду:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_r}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}=Q_r(r=1,2,\dots ,n),$$

то функция т есть интеграл системы:
$$\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\frac{\partial f_k}{\partial {\dot{q}}_r}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}+\frac{\partial T}{\partial q_r}=0(r=1,2,\dots ,n).$$