В предыдущем параграфе, рассматривая движения по инерции материальной точки на поверхности эллипсоида, мы указали на геодезические линии, которые могут быть разбиты на группы. Но, помимо этих геодетик, на эллипсоиде имеются еще три замкнутые геодетики, а именно три главные сечения эллипсоида. Эти геодетики носят совершенно иной характер. Они не принадлежат ни к одной группе, и вышеуказанное преобразование, преобразующее одни геодетики в другие, оставляет неизменными эти три геодетики, т. е. эти геодетики являются инвариантами преобразования. Аналогичным свойством обладают особые решения дифференциальных уравнений первого порядка. Если дифференциальное уравнение первого порядка допускает бесконечно малое преобразование, то это преобразование переводит все обыкновенные интегральные кривые одну в другую, но оставляет неизменными особые интегральные кривые. Вследствие этой аналогии мы будем говорить, что данное периодическое решение (динамической системы с двумя степенями свободы) является обыкновенным ${}^1$, если оно принадлежит к непрерывному семейству из ${\mathrm{\infty }}^1$ периодических решений, для которых постоянная энергии имеет одно и то же значение и которые преобразуются одно в другое бесконечно малым преобразованием, соответствующим некоторому интегралу (ниже будет уточнено). Мы будем периодическое решение называть особыл, если вблизи него не имеется периодических решений, соответствующих тому же самому значению постоянной энергии. Вышеуказанное бесконечно малое преобразование преобразует особое периодическое решение в самого себя.

Следует заметить, что мы добавляем здесь условие, что «постоянная энергии имеет одно и то же значение». Если постоянную энергии мы будем заменять, то обыкновенное периодическое решение динамической системы с двумя степенями свободы будет, вообще говоря, являться членом некоторого непрерывного семейства из ${\mathrm{\infty }}^2$ периодических решений, для которых период изменяется непрерывно. Каждому значению этого периода отвечает подсемейство из ${\mathrm{\infty }}^1$ периодических решений. Особое периодическое решение является членом семейства из ${\mathrm{\infty }}^1$ периодических решений, для которых период изменяется непрерывно.

В задаче движения планет под действием одной притягивающей массы в общей теории относительности квази-эллиптические траектории являются обыкновенными периодическими решениями, а круговые траектории являются особыми периодическими решениями.

Имеется существенное различие в свойствах обыкновенных и особых периодических решений. Например асимптотические решения § 169 могут существовать только в связи с особыми периодическими решениями и не могут существовать в связи с обыкновенными

${}^1$ Whittaker, Proc. R. S. Edinburgh, т. 37, стр. 95, 1916.

решениями. Это хорошо иллюстрируется на теории геодезических линий на поверхности второго порядка. Единственными асимптотическими решениями среди геодетик поверхностей второго порядка являются геодетики, описывающие спирали вокруг однополого гиперболоида, асимптотически приближаясь к главному эллиптическому сечению, которое является особым периодическим решением.

Введенные нами термины, обыкновенные и особые периодические решения естественно наводят на мысль, что первые решения встречаются часто, а последние как исключение. И это действительно имеет место до тех пор, пока мы ограничиваем себя рассмотрением разрешимых задач динамики. Поэтому нам покажется неожиданным тот факт, впервые обнаруженный Черри в 1927 г., что гамильтоновы системы с двумя степенями свободы не имеют в общем случае обыкновенных периодических решений: все периодические решения являются особыми. Объяснение этого кажущегося парадокса заключается в том, что гамильтоновы системы обычно неразрешимы, а периодические решения неразрешимых систем принадлежат к типу особых.

Этот парадокс может быть сопоставлен с аналогичным парадоксом в теории особых решений уравнений с частными производными. Если задано уравнение с частными производными первого порядка
$$f(x,y,z,p,q)=0,$$

то для нахождения особого решения надо исключить $p$ и $q$ из уравнений:
$$f=0,\frac{\partial f}{\partial p}=0,\frac{\partial f}{\partial q}=0.$$

И действительно, если бы этот метод мы применили к тем частного вида уравнениям, которые приводятся в качестве примеров в учебниках, то мы пришли бы к уравнению $F(x,y,z)=0$, которое и дало бы нам особое решение. Между тем имеется теорема Дарбу, согласно которой уравнения в частных производных первого порядка, вообще говоря, не имеют особых решений, и уравнение $F(x,y,z)=0$ представляет в общем случае геометрическое место точек пересечения характеристик. Этот кажущийся парадокс объясняется тем, что те частного вида уравнения, которые приводятся в учебниках, составляются, обычно исходя из полного интеграла, представляющего собой семейство поверхностей путем исключения из него произвольных постоянных. Уравнения же, составленные таким образом, допускают особые решения, а именно огибающую поверхностей, представляющих полный интеграл.

Теорема Черри о периодических траекториях и теорема Дарбу об особых решениях уравнений с частными производными одинаково предостерегают против распространения свойств «разрешимых» систем на системы общего вида.