Мы переходим теперь к исследованию таких динамических систем, для которых закон сохранения механической энергии не имеет места, и эта энергия все время переходит в другие виды (например теплоту), которые не рассматриваются в динамике. Мы рассмотрим сначала системы с трением.

Если соприкасаются два не вполне гладких тела, то сила реакции в точке соприкасания может быть разложена на два компонента, из которых один направлен по общей нормали к поверхностям тел в точке касания и называется нормальным давлением, а другой лежит в общей касательной плоскости и называется силой трения. Последняя подчиняется следующему экспериментальному закону ${ }^{1}$ : Два соприкасающихся тела не скользят до тех пор, пока сила трения, необходимая
${ }^{1} \Gamma$. Амонтон открыл, что трение пропорционально нормальному давлению (Paris Mem., 1699, стр. 206).

для предотвращения скольжения, не превосходит $\mu$-кратной величины нормального давления, где величина $\mu$ зависит только от материала соприкасающихся поверхностей и называется коэффициентом трения. Если же сила, необходимая для предотвращения скольжения, превосходит $\mu$-кратную величину нормального давления, то скольжение действительно будет иметь место, и возникающая сила трения будет в $\mu$ раз превосходить нормальное давление.

Пенлеве показал, что четыре допущения: 1) что имеют место только что высказанные законы трения; 2) что существуют твердые тела; 3) что нормальное давление между телами не может быть отрицательным и 4) что все ускорения и напряжения конечны, – вместе взятые, могут в некоторых случаях стоять в противоречии с основными законами динамики. См. по этому поводу работы: Пенлеве, Лекорню, Деспарра и Клейна (Comptes Rendus, т. 140 , стр. 635,702 и 847, 1905; там же, т. 141, стр. 310, 401 и 546, 1905; Ges. math. Abh. т. 2, стр. 704).

Рассмотрим некоторые примеры движения систем при наличии сил трения.
ЗАДАчА 1. Движение точки по неподвижной шероховатой плоской кривой.
Материальная точка движется в узкой шероховатой трубке, согнутой в плоскую кривую, под действием силы, зависящей только от положения точки. $f(s)$ и $g(s)$ суть тангенциальный и нормальный компоненты силы, отнесенной к единице массы. При этом $s$ есть расстояние движущейся точки от некоторой точки кривой, отмеряемое вдоль кривой в сторону движения. Пусть $R$ есть нормальная реакция, отнесенная к единице массы, а $\mu$ – коэффициент трения.

Так как точка обладает тангенциальным и нормальным ускорениями $v \frac{d v}{d s}$ и $\frac{v^{2}}{\rho}$, где $v$ – скорости точки, а $\rho$ – радиус кривизны траектории, то имеют место уравнения:
\[
v \frac{d v}{d s}=f(s)-\mu R, \quad \frac{v^{2}}{\rho}=g(s)+R .
\]

Исключая $R$, находим:
\[
\frac{d v^{2}}{d s}+\frac{2 \mu}{\rho} v^{2}=2 f(s)+2 \mu g(s) .
\]

Интегрирование дает:
\[
v^{2}=c e^{-2 \mu \varphi}+2 e^{-2 \mu \varphi} \int^{s} e^{2 \mu \varphi}\{f(s)+\mu g(s)\} d s,
\]

где $\varphi=\int \frac{d s}{\rho}$, а $c$ – постоянная, зависящая от начальных условий движения.
Правая часть этого уравнения есть известная функция от $s$, которую мы обозначим через $F(s)$. Тогда
\[
\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=F(s)
\]

Следовательно, $s$ и $t$ связаны соотношением:
\[
t-t_{0}=\int^{s}\{F(s)\}^{-\frac{1}{2}} d s .
\]

Этим соотношением и решается задача.
ЗАДАчА 2. Круговой обруч массы $M$ стоит на шероховатой плоскости. На конце горизонтального диаметра на нем укреплена точка массы $m$. Выяснить, будет ли обруч катиться и скользить.

Для решения задачи допустим, что обруч может катиться, и выясним, будет ли сила трения, необходимая для такого движения, больше или меньше силы трения, имеющей место в действительности, т. е. равной $\mu$-кратной величине нормального давления. Допустим, что обруч повернулся от начального положения на угол $\vartheta$, а центр тяжести системы имеет относительно горизонтали и направленной вниз вертикали, проходящих через его начальное положение, координаты $x$ и $y$. Тогда
\[
x=a \vartheta-\frac{m a}{M+m}(1-\cos \vartheta), \quad y=\frac{m a}{M+m} \sin \vartheta,
\]

где $a$ – радиус обруча.
Кинетическая и потенциальная энергии выразятся так:
\[
\begin{array}{l}
T=M a^{2} \dot{\vartheta}^{2}+m a^{2} \dot{\vartheta}^{2}(1-\sin \vartheta), \\
V=-m g a \sin \vartheta .
\end{array}
\]

Поэтому уравнением движения Лагранжа будет:
\[
m g a \cos \vartheta=\frac{d}{d t}\left[2 a^{2} \dot{\vartheta}\{M+m(1-\sin \vartheta)\}\right]+m a^{2} \dot{\vartheta}^{2} \cos \vartheta .
\]

Для начального движения это уравнение дает:
\[
2 a \ddot{\vartheta}(M+m)=m g .
\]

Следовательно, в начале движения
\[
\ddot{x}=a \ddot{\vartheta}=\frac{m g}{2(M+m)}, \quad \ddot{y}=\frac{m}{M+m} a \ddot{\vartheta}=\frac{m^{2} g}{2(M+m)^{2}} .
\]

Если $F$ есть сила трения, а $R$ – нормальное давление, то в начале движения имеем:
\[
\frac{F}{R}=\frac{\ddot{x}}{-\ddot{y}+g}=\frac{m(M+m)}{2 M^{2}+4 M m+m^{2}} .
\]

Следовательно, обруч будет катиться или скользить в зависимости от того, будет ли коэффициент трения больше или меньше, чем
\[
\frac{m(M+m)}{2 M^{2}+4 M m+m^{2}} \text {. }
\]

Задачд 3. Материальная точка движется под действием силы тяжести на шероховатой циклоиде, плоскость которой вертикальна, а линия основания горизонтальна. Пусть $\varphi$ означает угол наклона касательной в любой точке циклоиды относительно горизонтали, так что уравнением циклоиды будет:
\[
s=4 a \sin \varphi,
\]
$\operatorname{atg} \varepsilon-$ коэффициент трения. Показать, что движение определяется уравнением
\[
c e^{\varphi \operatorname{tg} \varepsilon} \sin (\varphi+\varepsilon)=\cos \left(\sqrt{\frac{g}{a}} \cdot \frac{t}{2 \cos \varepsilon}\right) .
\]

где $c$ – постоянная.