К группе теорем, относящихся $к$ принципу Гаусса-Герца, следует причислить также и следующую теорему Бертрана ${ }^{2}$ : Если различные точки движущейся (голономной) или
${ }^{1} 0$ связи этого уравнения с принципом наименьшего действия см. H. Brell, Wien. Sitzungsber., т. 122, стр. 933, 1913.
${ }^{2}$ Примечания Бертрана к «Mec. Annal.» Јагранжа и Journal de Liouville (1), т. 7, стр. 166,1842 .

неголономной системы получают заданные импульсы, то кинетическая энергия получающегося движения будет больше, чем кинетическая энергия, которую приобрела бы система при тех же импульсах, если бы к первоначальным связям были добавлены любые другие связи, определяемые реакциями вполне гладких или вполне шероховатых поверхностей, или твердых соединений между материальными точками системы.

Пусть $m$ есть масса материальной точки системы, которая до импульса, после него и в сравнительном движении имеет соответственно компоненты скорости:
\[
u, v, \omega ; \quad u^{\prime}, v^{\prime}, \omega^{\prime} ; \quad u_{1}, v_{1}, w_{1} .
\]

Обозначим через $X, Y, Z$ компоненты действующей на точку внешней импульсивной силы, через $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ – компоненты импульсивной силы, происходящей от связей, и через $X^{\prime}+X_{1}, Y^{\prime}+Y_{1}, Z^{\prime}+Z_{1}$ – компоненты импульсивной силы от связей при сравнительном движении.
Уравнениями импульсивного движения будут:
\[
\begin{array}{l}
m\left(u^{\prime}-u\right)=X+X^{\prime}, m\left(u_{1}-u\right)=X+X^{\prime}+X_{1}, \\
m\left(v^{\prime}-v\right)=Y+Y^{\prime}, \quad m\left(v_{1}-v\right)=Y+Y^{\prime}+Y_{1}, \\
m\left(w^{\prime}-w\right)=Z+Z^{\prime}, m\left(w_{1}-w\right)=Z+Z^{\prime}+Z_{1} . \\
\end{array}
\]

Вычитание дает:
\[
m\left(u_{1}-u^{\prime}\right)=X_{1}, \quad m\left(v_{1}-v^{\prime}\right)=Y_{1}, \quad m\left(w_{1}-w^{\prime}\right)=Z_{1} .
\]

Умножим последние равенства соответственно на $u_{1}, v_{1}, w_{1}$, сложим их и результат просуммируем по всем точкам системы. Тогда получим:
\[
\sum\left\{m\left(u_{1}-u^{\prime}\right) u_{1}+\left(v_{1}-v^{\prime}\right) v_{1}+\left(w_{1}-w^{\prime}\right) w_{1}\right\}=\sum\left(X_{1} u_{1}+Y_{1} v_{1}+Z_{1} w_{1}\right) .
\]

Из самой природы связей следует, что сумма работ всех действующих на систему конечных сил, пропорциональных импульсивным силам $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ при всяком перемещении, компоненты которого пропорциональны величинам $u_{1}, v_{1}, w_{1}$, равна нулю.
Поэтому имеем:
\[
\sum\left(X_{1} u_{1}+Y_{1} v_{1}+Z_{1} w_{1}\right)=0
\]

или
\[
\sum\left\{m\left(u_{1}-u^{\prime}\right) u_{1}+\left(v_{1}-v^{\prime}\right) v_{1}+\left(w_{1}-w^{\prime}\right) w_{1}\right\}=0 .
\]

Это уравнение можно представить в виде:
\[
\begin{array}{l}
\sum m\left(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}+w^{\prime 2}\right)-\sum m\left(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2}\right)= \\
=\sum m\left\{\left(u^{\prime}-u_{1}\right)^{2}+\left(v^{\prime}-v_{1}\right)^{2}+\left(w^{\prime}-w_{1}\right)^{2}\right\},
\end{array}
\]

а это показывает, что
\[
\frac{1}{2} \sum m\left(u^{\prime 2}+{v^{\prime}}^{2}+{\omega^{\prime}}^{2}\right)>\frac{1}{2} \sum m\left(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+\omega_{1}^{2}\right),
\]

и теорема Бертрана доказана.
Теорема легко переносится на случай, когда силы не импульсивны, а действуют непрерывно. В этом случае прирост кинетической энергии в единицу времени становится меньше при введении новых связей, не оказывающих влияния на потенциальную энергию.

Следующую теорему, данную лордом Кельвином и известную под именем теоремы Томсона ${ }^{1}$, можно доказать аналогичным способом: если любое число точек материальной системы внезапно приведено в движение с наперед заданными скоростями, то кинетическая энергия получающегося движения меньше, чем кинетическая энергия всякого другого кинематически возможного движения, которое может выполнять система при тех же скоростях. Излиек равен энергии такого движения, которое, будучи сложено с одним из указанных движений, должно давать другое.

Лорд Рейлей ${ }^{2}$ нашел, что теоремы Томсона и Бертрана можно выразить так, что из них будет следовать, что введение новых связей увеличивает инерцию или момент инерции системы.
ЗАДАчА 1. Из $2 n$ равных стержней составлена цепь $n-1$ ромбов (сторона каждого ромба равна половине длины стержня), так что в вершине каждого ромба имеется шарнир. Концы (каждый в виде полуромба) получающихся при этом «нюрнбергских ножниц» открыты. Свободным концам стержней на одном из концов ножниц сообщены импульсы $P$ перпендикулярно направлению диагонали. Показать, что концы стержней другого конца ножниц имеют в направлении диагонали начальную скорость
\[
\frac{3 P}{m} \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos ^{2} \alpha+n^{2} \sin ^{2} \alpha},
\]

где $m$ – масса каждого отдельного стержня, $2 \alpha$ – угол между стержнями в их точках пересечения. (Camb. Math. Tripos, часть 1, 1896.)