8. Уравнение Риккати.

Общее уравнение Риккати имеет вид

Будем предполагать, что так как при уравнение (27) — линейное. Уравнение Риккати в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Уравнение Риккати не меняет своего вида при следующих преобразованиях.

1. Замена независимой переменной:

2. Дробно-линейное преобразование зависимой переменной:

где — гладкие функции .

Проверим второе свойство. Имеем

Правая часть уравнения (27) также является дробью со знаменателем и с квадратным многочленом но в числителе, так что после подстановки снова получается уравнение Риккати.

Уравнение Риккати можно привести к каноническому виду

с помощью преобразований , возможно, замены переменной Приведем ряд свойств уравнения Риккати.

1°. Если известно частное решение уравнения Риккати, то все его решения находятся с помощью двух квадратур.

Пусть — частное решение. Полагая получаем

Это уравнение Бернулли которое с помощью подстановки сводится к линейному. Итак, подстановка

приводит уравнение Риккати к линейному уравнению.

2°. Пусть — произвольные решения уравнения Риккати. Тогда их ангармоническое отношение есть величина постоянная:

Действительно, подстановка (28), или приводит к линейному дифференциальному уравнению,

которое имеет частные решения

Как показано в для любого решения и имеем

Выражая и через у, получаем тождество (29).

Следовательно, если известны три частных решения уравнения Риккати, то все его решения находятся без квадратур из формулы (29).

3°. Уравнение Риккати можно свести к однородному линейному уравнению второго порядка. Полагая получаем уравнение

Запишем его в виде

и положим тогда получим линейное однородное уравнение второго порядка

Значительно чаще, особенно в прикладных задачах, используется обратная процедура — сведение линейного уравнения второго порядка к уравнению Риккати (подробнее об этом см. в гл. 7).

Рассмотрим специальное уравнение Риккати

где постоянные.

Пример 20. Решим уравнение

Будем искать частное решение в виде Подставляя в уравнение, получаем один из корпей этого уравнения есть Сделаем подстановку (28): тогда получим Решение однородного уравнения есть Частное решение неоднородного уравнения будем искать с помощью метода

вариации постоянных: Подставляя в уравнение, получаем

так что

Можно заменить на С:

где С — произвольная постоянная.

Уравнение (30) интегрируется в элементарных функциях только при значениях а вида

о чем уже говорилось в § 1. При т. е. для уравнения

можно искать частное решение в виде что приводит к уравнению для Если это уравнение имеет вещественное решение, то уравнение Риккати интегрируется с помощью подстановки Если же оба корня комплексные, то этот метод непригоден. Но во всех случаях пригодна подстановка которая приводит к однородному уравнению

Пример 21. Решим уравнепие

Полагая получаем

Положим тогда

и, так как

Другие типы интегрируемых уравнений первого порядка рассмотрены в гл. 2, § 10.