8. Уравнение Риккати.
Общее уравнение Риккати имеет вид
Будем предполагать, что
так как при
уравнение (27) — линейное. Уравнение Риккати в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Уравнение Риккати не меняет своего вида при следующих преобразованиях.
1. Замена независимой переменной:
2. Дробно-линейное преобразование зависимой переменной:
где
— гладкие функции
.
Проверим второе свойство. Имеем
Правая часть уравнения (27) также является дробью со знаменателем
и с квадратным многочленом но
в числителе, так что после подстановки снова получается уравнение Риккати.
Уравнение Риккати можно привести к каноническому виду
с помощью преобразований
, возможно, замены переменной
Приведем ряд свойств уравнения Риккати.
1°. Если известно частное решение уравнения Риккати, то все его решения находятся с помощью двух квадратур.
Пусть
— частное решение. Полагая
получаем
Это уравнение Бернулли
которое с помощью подстановки
сводится к линейному. Итак, подстановка
приводит уравнение Риккати к линейному уравнению.
2°. Пусть
— произвольные решения уравнения Риккати. Тогда их ангармоническое отношение есть величина постоянная:
Действительно, подстановка (28), или
приводит к линейному дифференциальному уравнению,
которое имеет частные решения
Как показано в
для любого решения и имеем
Выражая и через у, получаем тождество (29).
Следовательно, если известны три частных решения уравнения Риккати, то все его решения находятся без квадратур из формулы (29).
3°. Уравнение Риккати можно свести к однородному линейному уравнению второго порядка. Полагая
получаем уравнение
Запишем его в виде
и положим
тогда получим линейное однородное уравнение второго порядка
Значительно чаще, особенно в прикладных задачах, используется обратная процедура — сведение линейного уравнения второго порядка к уравнению Риккати (подробнее об этом см. в гл. 7).
Рассмотрим специальное уравнение Риккати
где
постоянные.
Пример 20. Решим уравнение
Будем искать частное решение в виде
Подставляя в уравнение, получаем
один из корпей этого уравнения есть
Сделаем подстановку (28):
тогда получим
Решение однородного уравнения есть
Частное решение неоднородного уравнения будем искать с помощью метода
вариации постоянных:
Подставляя в уравнение, получаем
так что
Можно заменить
на С:
где С — произвольная постоянная.
Уравнение (30) интегрируется в элементарных функциях только при значениях а вида
о чем уже говорилось в § 1. При
т. е. для уравнения
можно искать частное решение в виде
что приводит к уравнению для
Если это уравнение имеет вещественное решение, то уравнение Риккати интегрируется с помощью подстановки
Если же оба корня
комплексные, то этот метод
непригоден. Но во всех случаях пригодна подстановка
которая приводит к однородному уравнению
Пример 21. Решим уравнепие
Полагая
получаем
Положим
тогда
и, так как
Другие типы интегрируемых уравнений первого порядка рассмотрены в гл. 2, § 10.