§ 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления

1. Задача Лагранжа.

Рассмотрим функционал

зависящий от вектор-функции Предположение 1. Функция дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных при и при всех

Поставим задачу об отыскании минимума функционала (1) при условиях связи

и с закрепленными концами

где — заданные функции. Эта задача называется задачей Лагранжа.

В столь общей постановке задача Лагранжа оказывается крайне сложной. Мы рассмотрим два важнейших частных случая.

1°. Пусть функции не зависят от т. е. условия связи имеют вид

Такие связи (т. е. не зависящие от производных) называются в механике неголономнымщ связи вида (2), т. е. зависящие от производных, называются I голономными. Рассмотренная в § 7 задача есть частный случай задачи (1), (4), (3) при Дифференциальные уравнения для экстремалей можно получить, введя функцию Лагранжа

где — неизвестные функции (множители Лагранжа). Если кривая есть экстремаль, то она удовлетворяет системе уравнений Эйлера для функционала т. е.

При этом предполагается, что функции непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных при , для простоты, при всех и что ранг матрицы Якоби максимален, т. е. равен к во всех точках которые удовлетворяют системе (4). Мы не будем останавливаться на этом случае более подробно и перейдем к рассмотрению такого варианта задачи Лагранжа, который непосредственно связан с задачами оптимального управления.

2°. Пусть систему (2) можно разрешить относительно производных Тогда мы получим соотношения вида

. Поясним, почему получаются такие соотношения при Пусть тогда уравнение связи имеет вид

Фиксируем ; тогда уравнение (6) определяет, вообще говоря, кривую на плоскости Ее параметрическое уравнение имеет вид где

параметр вдоль кривой. Изменяя получаем

В общем случае система из уравнений (2) с неизвестными определяет, вообще говоря, многообразие размерности в пространстве с координатами Достаточные локальные условия, при которых это утверждение справедливо и многообразие задается уравнениями вида (5), см. гл. 2, § 10.

Итак, рассмотрим задачу об отыскании минимума функционала (1) при условиях связи (5) и с закрепленными концами (см. Так как, в силу (5), производные х явно выражаются через переменные , то подынтегральная функция в (1) зависит от переменных и. Поэтому естественно обобщить задачу, рассмотрев функционал вида

При этом число может быть любым, а переменпые изменяются в некоторой открытой (что существенно!) области в пространстве Ни. Переменные х называются фазовыми, переменные и — управлениями. Задача об отыскании минимума функционала (7) при условиях связи

и с закрепленными (по концами также называется задачей Лагранжа.

Предположение 2. Функция и вектор функция непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных при и при всех Введем функцию Лагранжа

Здесь — постоянная, произведение этих векторов, т. е. Величины называются множителями Лагранжа.

Теорема. Пусть пара вектор-функций есть точка локального минимума задачи Лагранжа. Тогда существуют множители Лагранжа Не равные нулю одновременно и такие, что пара удовлетворяет системе уравнений Эйлера для функционала т. е.

Доказательство этой теоремы см. в [2]. Метод множителей Лагранжа оказывается применимым и к задачам со связями вида (5).

Замечание 1. Поясним появление «лишнего» (ср. §§ 6, 7) множителя Лагранжа на примере: найти экстремумы функции при наличии связи где — гладкие функции. Покажем, что если — точка экстремума, то существуют множители Лагранжа , не равные нулю одновременно и такие, что в точке экстремума имеем где — функция Лагранжа: Пусть тогда можно положить а существование множителя известно из анализа [30, 39]. Если же то можно положить

Замечание 2. Приведем нестрогий вывод уравнений (9) в простейшем случае Функционал и условие связи имеют вид

Допустим, что из уравнения связи можно выразить и через остальные переменные: и Тогда получим функционал, зависящий только от одной функции

и простейшую задачу вариационного исчисления.

Экстремаль этого функционала удовлетворяет уравнению Эйлера т. е.

Дифференцируя тождество по и по х, находим

и уравнение Эйлера принимает вид

Положим тогда получим из этого уравнения систему

которая совпадает с системой (9), (10).