4. Движение частицы в поле с кубическим потенциалом.

Рассмотрим уравнение

которое называют уравйением ангармонического осциллятора. Его можно привести к виду

с помощью замены Интеграл энергии запишем в виде

где Е — энергия частицы. Имеем

так что

Как будет показано ниже, выражается через эллиптические функции Якоби. В зависимости от величины энергии Е возможны два случая.

Случай 1. Уравнение имеет один вещественный корень

Тогда (в противном случае ), и так как то Далее,

так что движение частицы возможно только в области Пусть в начальный момент частица находится в точке Если то частица движется вправо, конечное время см. доходит до точки поворота и затем движется влево. Если то при имеем

где Так как , то при

Значительно более интересен.

Случай 2. Уравнение имеет три вещественных корня .

a) (корни различны). Тогда при так что движение частицы возможно только в областях . В первой из них движение частицы инфинитно, и мы рассмотрим движение частицы в потенциальной яме . В уравнений (28) сделаем замену получим

Сделаем замену тогда

В этой формуле

так что и подкоренное выражение для неотрицательно. Из (30) следует, что если если Положим тогда (частица движется влево) и

где функция — обратная к функции так что

Движение частицы периодично с периодом

где — полный эллиптический интеграл первого рода.

б) . В этом случае только при и движение частицы инфинитно. Кроме того, имеется положение равновесия так как .

в) В этом случае в области где движение частицы инфинитно, и в области Пусть тогда уравнение (28) примет вид (частица движется влево)

Если Интегрируя от 0 до а, получаем

откуда находим

Функция принимает наибольшее значение при при с экспоненциальной скоростью:

Этот пример мы обсудим более подробно в гл. 5, § 4.

г) Тогда и движение частицы инфинитно.

Рассмотрим еще один пример — уравнение Дуффинга

Нетрудно видеть, что если в уравнении колебаний маятника заменить приближенно на, то получим уравнение вида (34).

Проинтегрируем уравнение (34). Будем искать решение в виде

где — неизвестные постоянные. Так как уравнение автономное, то С — произвольная постоянная. Имеем из (35), (11), (13)

Сравнивая это выражение с уравнением (34), получаем

Итак, всякое решение уравнения (34) имеет вид (35), где С — произвольная постоянная, а параметры связаны соотношениями (36).