§ 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка

1. Приведение уравнения к двучленному виду.

Рассмотрим уравнение второго порядка

на отрезке Коэффициенты вещественны и непрерывно дифференцируемы при

Уравнение (1) имеет очевидное решение ; будем называть его тривиальным. Нас интересуют нули вещественных нетривиальных решений уравнения (1). Это уравнение можно привести к виду, не содержащему первой производной, с помощью подстановки

где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в уравнение (1), получаем

и если , то коэффициент при обратится в нуль. Итак, подстановка

приводит уравнение (1) к двучленному виду:

Функции имеют одни и те же нули.

Будем рассматривать уравнения вида

функция непрерывна и вещественна на отрезке

Лемма. Всякое нетривиальное решение уравнения (3) может иметь на отрезке I не более конечного числа нулей.

Доказательство. Допустим, что решение имеет бесконечно много нулей на отрезке По лемме Больцано — Вейерштрасса последовательность имеет предельную точку Не ограничивая общности, можно считать, что при

Так как то по непрерывности. По теореме Ролля на интервале имеется точка Этакая, что Так как Итак, и по теореме единственности это противоречит предположению