§ 7. Задача Лагранжа

Рассмотрим задачу: среди всех кривых лежащих на поверхности

найги те, которые дают экстремум функционалу

Концы кривых закреплены:

причем, очевидно, точки удовлетворяют соотношению (1).

Предположения. 1°. Функция дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных, когда а остальные переменные меняются в пределах от до

2°. Функция непрерывно дифференцируема по совокупности переменных и

если

При условии (4) уравнение 0 определяет поверхность в пространстве. Поэтому геометрический смысл задачи Лагранжа следующий: среди всех кривых,

лежащих на поверхности и имеющих заданные концы, найти те, которые дают экстремум функционалу

Теорема. Пусть кривая есть экстремаль задачи Лагранжа. Тогда существует функция такая, что является стационарной точкой функционала . Т. е. выполпяются у равнения Эйлера

Доказательство. Пусть т. е. поверхность задается уравнением

Тогда — функционал только от одной функции

и экстремаль удовлетворяет уравнешпо Эйлера

Так как то полученное соотношение можно записать в виде

Обе частп этого равенства — некоторая функция от х; обозначив ее — получпм уравнепия (5).

2°. Общий случай сводится к рассмотреппому с помощью следующего замечания: часть экстремали есть

экстремаль. Действительно, пусть - экстремаль задачи Лагранжа (точка минимума, для определенности), и пусть дуга экстремали с концами Покажем, что — точка минимума функционала

где — проекции точек на ось х. Проварьируем дугу т. е. заменим ее близкой кривой (с теми же концами), лежащей на поверхности Обозначим у, кривую, полученную из у заменой дуги на (рис. 45). Тогда (у есть точка минимума). Но в силу выбора у имеем

— точка минимума.

Рис. 45.

Завершим доказательство.

Фиксируем точку М и возьмем достаточно близко к М. По условию (4) одна из производных отлична от нуля в точке пусть . По теореме о неявной функции можно выразить через из уравнения (1), т. е. будет задаваться уравнением (6). При этом из (1) следует, что

на Проведенные в рассуждения приводят к уравнению (7); учитывая (9), снова получаем (8).