3. Дифференцирование сложных функций.
Пусть 
— непрерывно дифференцируемые функции (при
любых х, у, для простоты), тогда
Это правило дифференцирования сложной функции сохраняется и для вектор-функций 
если понимать под 
матрицы Якоби. Пусть
Теорема. Если вектор-функция 
непрерывно дифференцируема в окрестности 
точки 
вектор-функция 
непрерывно дифференцируема в окрестности V точки 
, то вектор-функция 
непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки а, и ее матрица Якоби имеет вид (21).
Доказательство. Пусть для простоты, 
тогда
где 
при 
при 
Следовательно, при 
имеем
и нетрудно проверить, что 
при 
Следовательно,
С другой стороны, имеем из (4)
Сравнение этих выражений доказывает формулу (21).
