3. Достаточные условия слабого экстремума.

Из леммы 2 и теоремы 2 следует

Теорема 3. Рассмотрим задачу с закрепленными концами (5) для функционала (4). Пусть первая вариация и выполнены условия:

1°. (усиленное условие Лежандра).

2°. Отрезок не содержит точек, сопряженных с точкой а (условие Якоби).

Тогда функция есть точка минимума функционала

Пример 3. Рассмотрим задачу об отыскании минимума функционала

В § 3, пример 1, показано, что минимум может достигаться только на функции где — наибольший корень уравнения

Функция достигает наименьшего значения на полуоси в точке предполагается, что Выпишем уравнения Якоби. Используя тождество находим

и усиленное условие Лежандра выполнено. Уравнение (10) имеет вид

Это уравнение имеет линейно независимые решения

Решение

обращается в нуль при . Покажем, что при тогда из теоремы 3 последует, что точка минимума. Имеем

так что при

в частности, Имеем

Так как то при и потому при — Пусть тогда второе слагаемое в (16) положительно, так как Далее, так как то

первое слагаемое в (16) положительно, так что при .