называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть есть дифференциал некоторой функции
и в этом случае легко интегрируется:
Полученное соотношение определяет у как неявную функцию х.
Пример 15. Уравнение
есть уравнение в полных дифференциалах: 
так что все его решения даются формулой 
, где С — произвольная постоянная. При 
интегральные кривые — гиперболы, при 
имеем 
. Через точки оси у (кроме точки 
не проходит ни одной интегральной кривой, так что в этих точках должны нарушаться условия теоремы существования и единственности. Действительно, правая часть уравнения 
обращается в бесконечность при 
.
Теорема. Пусть функции 
непрерывно дифференцируемы в области 
Для того чтобы уравнение (17) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо, чтобы выполнялось условие
Если область 
— односвязная, то условие (19) является достаточным.
Доказательство. Пусть (17) есть уравнение в полных дифференциалах, тогда из (18) находим
Дифференцируя первое из этих соотношений по у, второе — по х, получаем (19). Пусть 
— односвязная область и условие (19) выполнено. Рассмотрим интеграл 
который, берется по кривой у, лежащей в 
и соединяющей точки 
; точка 
фиксирована.
Из теоремы о независимости интеграла от пути интегрирования следует, что интеграл (20) не зависит от а есть функция только от верхнего предела интегрирования 
Обозначим полученную функцию 
тогда всюду в области 
выполняется (18).
Пример 16. Решим уравнение
В данном случае 
и проверка показывает, что 
Следовательно, существует функция 
такая, что 
— Найдем функцию 
Имеем
где 
— неизвестная функция, так что
Мы не добавляем произвольной постоянной интегрирования С, так как функцию 
достаточно знать с точностью до постоянной. Найдем 
Имеем
и семейство решений задается неявным уравнением
Пример 17. Решим уравнение
Проверка показывает, что 
так что левая часть уравнения равна 
Имеем
откуда находим, что 
Следовательно,
семейство решений задается уравнением 
или
где С — произвольная постоянная. Отметим, что интегральными кривыми являются не прямые 
а лучи:
К этому семейству следует добавить два луча, образующие ось х:
(см. замечание 1).
