§ 4. Формула Лиувилля
Пусть 
— квадратная матрица порядка 
— ее определитель. Выведем формулу для 
Лемма. Если матрица 
дифференцируема и невырождена в точке 
то в этой точке
Доказательство. Из формулы Тейлора следует, что
Отсюда находим
где 
. Далее,
Действительно, этот определитель имеет вид
Произведение любых двух элементов, не находящихся на главной диагонали, имеет порядок 
так что члены порядка 
могут содержаться только в произведении диагональных элементов, которое равно
Тем самым (2) доказано, так что
Переходя в этом равенстве к пределу при 
получаем (1).
Рассмотрим линейную однородную, систему из 
уравнений
с непрерывной на некотором отрезке I матрицей-функцией 
Теорема. Пусть 
— решения системы (3) и 
— их вронскиан. Тогда справедлива формула Лиувилля
Доказательство. Если решения 
линейно зависимы, то 
и формула 
очевидна. Пусть эти решения линейно независимы, и 
т. е. столбцы матрицы-функции 
— вектор-функции 
Эта матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
так как ее столбцы — решения системы (3). Имеем из (1), (4)
Интегрируя это уравнение относительно 
получаем формулу Лиувилля.
