§ 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах

1. Функционалы. Непрерывность.

Пусть — банахово пространство, т. е. полное линейное нормированное пространство (гл. 2, § 2). Норму элемента у пространства В обозначим

Определение 1. Пусть каждому элементу у из некоторого множества поставлено в соответствие вещественное число Тогда мы скажем, что на множестве М задан функционал

Понятие непрерывности функционала вводится так же, как и для функций. Функционал называется

непрерывным в точке если для всякого существует такое, что как только

Приведем основные примеры банаховых пространств которые мы будем рассматривать.

1. Пространство (гл. 2, § 2). Напомним, что его элементы — непрерывные на отрезке функции и

Сходимость по норме в пространстве — это равномерная сходимость на отрезке .

2. Пространство (его обозначают также — это пространство всех непрерывно дифференцируемых на отрезке функций: Норма вводится так:

Пусть последовательность в норме Си т. е. Тогда равномерно по сходятся последовательности

верно и обратное.

Рассмотрим один из основных примеров — функционал

Если функция непрерывна по совокупности переменных при то функционал будет непрерывен в пространстве Однако в пространстве этот функционал можйт не быть непрерывным.

Задача. Доказать, что функционал (для на дуги) не является непрерывным в пространстве