§ 5. Фундаментальные системы решений

Рассмотрим однородную линейную алгебраическую систему из к уравнений

где А есть -матрица, Из линейной алгебры известно, что существует фундаментальная система решений системы (1). Эти решения линейно независимы и всякое решение системы (1) имеет вид — произвольные постоянные. Аналогичные утверждения справедливы для линейной однородной системы из дифференциальных уравнений

Предпол ожение. Матрица-функция непрерывна на отрезке I. Всюду в дальнейшем предполагается, что

Определение. Фундаментальной системой решений системы (2) называется набор из линейно независимых решений

Теорема 1. Фундаментальные системы решений существуют.

Доказательство. Пусть — линейно независимые векторы и — решения системы (2) с данными Коши

Вронскиан этих решений при равен , так как векторы линейно независимы. В силу леммы 1 из § 3 решения линейно независимы, их штук, а потому они составляют фундаментальную систему решений.

Теорема 2. Пусть — фундаментальная система решений системы (2). Тогда всякое решение

системы (2) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Доказательство. Пусть , тогда векторы линейно независимы, так как составленный из них определитель отличен от нуля (§ 3, лемма 3). Поэтому существуют такие постоянные , что

Вектор-функция

есть решение системы (2), и построению. По теореме единственности и из (4) следует (3).

Эта теорема — фундаментальный результат теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Формула (3) показывает, что чтобы найти все решения однородной системы (2), достаточно найти только решений (линейно независимых). Для нелинейных уравнений все значительно сложнее. Например, если мы знаем 100 решений скалярного нелинейного уравнения первого порядка то нет никакого рецепта, который позволил бы найти еще одно решение по уже известным.

Придадим другой вид формуле (3). Матрица

столбцы которой — фундаментальная система решений, называется фундаментальной матрицей системы (1). Как уже отмечалось в § 4, фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

и невырождена при всех Из формулы (3) следует, что всякое решение системы (2) имеет вид

где с — произвольный постоянный вектор.

Теорема 3. Всякое решение матричного уравнения (5) имеет вид

Здесь — фундаментальная матрица системы (1), С — постоянная матрица.

Доказательство. Будем искать решение уравнения (5) в виде Подставляя в (5), получаем

и так как — решение уравнения (5), то

Умножая это равенство слева на получаем, что постоянная матрица.

Следствие. Любые две фундаментальные матрицы системы (1) связаны соотношением (6), где С — постоянная невырожденная матрица.