3. Эллиптические функции.

Решения уравнения колебаний маятника выражаются через неэлементарные

функции — эллиптические функции Якоби. Приведем их определение и основные свойства.

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

где к — постоянная, Решения этой системы с данными Коши

называются эллиптическими функциями Якоби и обозначаются соответственно

(приняты также обозначения Поэтому система (9) имеет вид

Постоянная к называется модулем эллиптических функций, постоянная

называется дополнительным модулем.

Существуют другие способы определения эллиптических функций (см. ниже). Но все их основные свойства можно получить непосредственно из системы (9). Приведенные ниже рассуждения поучительны в том отношении, что показывают силу общей теории дифференциальных уравнений.

Найдем первые интегралы системы (9). Умножим первое уравнение системы второе — на и сложим их, тогда получим

Умножим первое уравнение на третье — на и сложим их, тогда получим

Итак, система (9) имеет первые интегралы

Учитывая данные Коши, получаем тождества

Основная теорема (гл. 2, § 1) гарантирует существование решения задачи Коши (9), (10) лишь на некотором интервале . Но поскольку правые части системы (13) непрерывно дифференцируемы при всех функции ограничены при всех х, в силу (13), то решение задачи Коши (9), (10) существует при всех Кроме того, функции бесконечно дифференцируемы при всех так как правые части системы (9) бесконечно дифференцируемы.

Из тождеств (13) следует, что

при всех х. Докажем последнее из этих неравенств. Имеем так что функция не обращается в нуль, и поскольку то к

Покажем, что — нечетная, — четные функции, так что

Положим тсгда получим систему

и задачу Коши

По теореме единственности

Функция не имеет нулей. Исследуем нули функций Из (9), (13) имеем

Так как то функция возрастает и положительна при малых потому

Это уравнение имеет вид где строго монотонно возрастающая функция при Поэтому строго монотонно возрастает при где

При имеем

Выясним, как изменяются значения эллиптических функций при сдвиге аргумента на К. Положим и сделаем преобразование

Это преобразование не меняет начальных данных, т. е.

Покажем, что оно не меняет системы (9), т. е.

Действительно,

откуда находим

Поэтому первое из уравнений (9) не меняется. Аналогично доказывается, что не меняются остальные уравнения.

В силу теоремы единственности , так что справедливы важные формулы

Из этих формул следует, что

Следовательно,

Таким образом, функции периодические, с периодом функция периодическая, с периодом Далее, из (18) следует, что так что

при любых целых . Других вещественных нулей функции не имеют.

Положим

причем при возрастает при Угол называется амплитудой эллиптических функций. Далее, из (13) находим, что

Функции называются, соответственно, синус-амплитудой, косинус-амплитудой и дельта-амплитудой. Функцию обозначают также . В частности,

Вернемся к уравнению колебаний маятника. Пусть в начальный момент маятник находится в самом низком положении: а его начальная скорость

Так как то энергия маятника равна

и уравнение (7) имеет вид

откуда находим

Случай 1. . Тогда т. е. начальная скорость маятника не очень велика. Положим

получим

Мы сделали подстановку

Следовательно,

или

Движение маятника периодично с периодом Так как то угол меняется .

Случай Имеем так что в силу (22)

откуда находим

Если меняется от 0 до то угол монотонно возрастает от 0 до , так что маятник движется все время в одном направлении. Но при всех — маятник

никогда не займет предельное положение (самое верхнее положение).

Случай 3. . Тогда т. е. начальная скорость маятника достаточно велика. Положим

так что Получим

и, окончательно,

где к указано в формуле (24). Маятник достигает наибольшего положения при но его скорость никогда не обращается в нуль. Поэтому маятник движется по окружности все время в одном направдении.