Главная > Обыкновенные дифференциальные уравнения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Эллиптические функции.

Решения уравнения колебаний маятника выражаются через неэлементарные

функции — эллиптические функции Якоби. Приведем их определение и основные свойства.

Рассмотрим нелинейную систему уравнений

где к — постоянная, Решения этой системы с данными Коши

называются эллиптическими функциями Якоби и обозначаются соответственно

(приняты также обозначения Поэтому система (9) имеет вид

Постоянная к называется модулем эллиптических функций, постоянная

называется дополнительным модулем.

Существуют другие способы определения эллиптических функций (см. ниже). Но все их основные свойства можно получить непосредственно из системы (9). Приведенные ниже рассуждения поучительны в том отношении, что показывают силу общей теории дифференциальных уравнений.

Найдем первые интегралы системы (9). Умножим первое уравнение системы второе — на и сложим их, тогда получим

Умножим первое уравнение на третье — на и сложим их, тогда получим

Итак, система (9) имеет первые интегралы

Учитывая данные Коши, получаем тождества

Основная теорема (гл. 2, § 1) гарантирует существование решения задачи Коши (9), (10) лишь на некотором интервале . Но поскольку правые части системы (13) непрерывно дифференцируемы при всех функции ограничены при всех х, в силу (13), то решение задачи Коши (9), (10) существует при всех Кроме того, функции бесконечно дифференцируемы при всех так как правые части системы (9) бесконечно дифференцируемы.

Из тождеств (13) следует, что

при всех х. Докажем последнее из этих неравенств. Имеем так что функция не обращается в нуль, и поскольку то к

Покажем, что — нечетная, четные функции, так что

Положим тсгда получим систему

и задачу Коши

По теореме единственности

Функция не имеет нулей. Исследуем нули функций Из (9), (13) имеем

Так как то функция возрастает и положительна при малых потому

Это уравнение имеет вид где строго монотонно возрастающая функция при Поэтому строго монотонно возрастает при где

При имеем

Выясним, как изменяются значения эллиптических функций при сдвиге аргумента на К. Положим и сделаем преобразование

Это преобразование не меняет начальных данных, т. е.

Покажем, что оно не меняет системы (9), т. е.

Действительно,

откуда находим

Поэтому первое из уравнений (9) не меняется. Аналогично доказывается, что не меняются остальные уравнения.

В силу теоремы единственности , так что справедливы важные формулы

Из этих формул следует, что

Следовательно,

Таким образом, функции периодические, с периодом функция периодическая, с периодом Далее, из (18) следует, что так что

при любых целых . Других вещественных нулей функции не имеют.

Положим

причем при возрастает при Угол называется амплитудой эллиптических функций. Далее, из (13) находим, что

Функции называются, соответственно, синус-амплитудой, косинус-амплитудой и дельта-амплитудой. Функцию обозначают также . В частности,

Вернемся к уравнению колебаний маятника. Пусть в начальный момент маятник находится в самом низком положении: а его начальная скорость

Так как то энергия маятника равна

и уравнение (7) имеет вид

откуда находим

Случай 1. . Тогда т. е. начальная скорость маятника не очень велика. Положим

получим

Мы сделали подстановку

Следовательно,

или

Движение маятника периодично с периодом Так как то угол меняется .

Случай Имеем так что в силу (22)

откуда находим

Если меняется от 0 до то угол монотонно возрастает от 0 до , так что маятник движется все время в одном направлении. Но при всех — маятник

никогда не займет предельное положение (самое верхнее положение).

Случай 3. . Тогда т. е. начальная скорость маятника достаточно велика. Положим

так что Получим

и, окончательно,

где к указано в формуле (24). Маятник достигает наибольшего положения при но его скорость никогда не обращается в нуль. Поэтому маятник движется по окружности все время в одном направдении.

1
Оглавление
email@scask.ru