4. Необходимое условие экстремума.

Точка называется точкой минимума (максимума) функционала если для всех у из достаточно малой окрестности точки Определение дословно то же, что и для функций. Точка у о называется точкой экстремума функционала если она является точкой минимума или максимума.

Необходимым условием того, чтобы точка была точкой экстремума функции является обращение в нуль дифференциала: Необходимое условие того, чтобы точка была точкой экстремума функционала формулируется аналогично:

Теорема. Пусть функционал дифференцируем в точке Для того чтобы точка была точкой экстремума функционала необходимо, чтобы его первая вариация обращалась в нуль в этой точке:

Это соотношение выполняется для всех приращений

Доказател ьство. Пусть — точка минимума (для определенности), и пусть первая вариация Тогда существует элемент такой, что Имеем при малых

Знак последнего выражения при малых совпадает со внаком числа можно выбрать так, чтобы это число было отрицательным. Полученное противоречие доказывает теорему.