2. Устойчивость по линейному приближению.
Сформулируем фундаментальный результат теории устойчивости
Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Пусть вектор-функция 
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия а. Если веще ственные части всех собственных значений матрицы Яко 
отрицательны, то положение равновесия а асимптотически устойчиво. Кроме того, справедлива оценка
где 
для всех 
достаточно близких к точке а.
Эту теорему можно сформулировать еще так: если положение равновесия линеаризованной системы асимптотически устойчиво, то асимптотически устойчиво положение равновесия нелинейной системы.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что 
Имеем из (2), (3)
где 
. Чтобы доказать асимптотическую устойчивость положения равновесия 
, достаточно построить функцию Ляпунова 
такую, что функция 
положительно определена, а функция 
отрицательно определена в некоторой окрестности точки 
(§ 5). В качестве 
возьмем функцию Ляпунова линеаризованной системы, построенную в § 7.
Пусть Т — матрица, приводящая матрицу А к почти диагональному виду, т. е. 
. Матрицы 
— те же, что и в доказательстве теоремы из § 7. Положим 
Туг тогда система (1) примет вид
где обозначено 
Функцию Ляпунова 
возьмем в виде
Эта функция положительно определена в 
Заметим, что хотя матрица Т и вектор у могут иметь комплексные элементы, вектор-функция 
вполне определена, так как 
вещественный вектор.
Вычислим 
Имеем из (6), (7)
Слагаемое 
, (т. е. выражение, заключенное в первые квадратные скобки) есть производная в силу линейной системы
Поэтому справедлива оценка (§ 6, (4))
где 
— постоянная. Из оценок
следует, что
где 
в некоторой окрестности 
точки 
Следовательно,
Выберем окрестность 
точки 
такую, что 
тогда
и потому функция 
отрицательно определена в области 
Тем самым асимптотическая устойчивость положения равновесия 
доказана.
Из оценки (8) и вида функции 
следует, что
где 
(это доказывается так же, как и неравенство (6) из § 7), и из (8), § 7 следует оценка (5).
Замечание. Можно показать, что в качестве показателя а в неравенстве (5) можно взять любое такое число, что
