Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
3. Метод Крылова — Боголюбова.
Сначала рассмотрим уравнение (8). Если
то всякое решение имеет вид
где
— постоянные, так что
Первое приближение возьмем в виде
где функции
удовлетворяют системе
и эти ряды — асимптотические. Функция
описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой а и частотой
Имеем
Все последующие выкладки будем проводить только о точностью до слагаемых порядка
Имеем
Поэтому
Будем искать решение уравнения (8) в виде асимптотического ряда
где
— периодические по переменному
функции с периодом
Тогда функция
разлагается в ряд Фурье
Потребуем, чтобы выполнялось условие:
функции
при
не содержат первой гармоники (т. е. коэффициенты при созф и
равны нулю).
Смысл этого условия мы поясним ниже.
Получим первые два уравнения. Пусть
тогда
Нам необходимо вычислить производную только с точностью до членов порядка
а производную с точностью до членов порядка 1, так что
Далее
где значения производных функции
взяты в точке
Приравнивая в уравнении (8) коэффициенты при
получаем уравнение
Это уравнение имеет вид
где
— периодическая с периодом
функция. Такое уравнение имеет
-периодическое решение тогда и только тогда, когда
так что
Тем самым мы нашли функции
Далее,
и из уравнения (18) однозначно определяются все коэффициенты
кроме
По условию,
так что
Уравнение для второго приближения имеет вид
что было показано в гл. 3, § 7, пример 4. Покажем это по-другому. Разложим функцию
в ряд Фурье;
Все решения уравнения (19) даются формулой
где
— частные решения уравнений
Если
то эти решения
-периодичны;
Если
и уравнение (19) не имеет
-периодических решений, если хотя бы один из коэффициентов
отличен от нуля.
Вернемся к уравнению (18). Разложим функцию
в ряд Фурье:
Правая часть уравнения (18) не должна содержать
Разложим правую часть в ряд Фурье. Приравняв нулю коэффициенты при
получим систему уравнений для функций
, кроме того, однозначно определим функцию
Уравнения для высших приближений имеют вид
где
— известные функции,
-периодические по переменному
Из условий
получим систему уравнений для функций
и затем однозначно определим функцию
С каждым шагом вид функций
сильно усложняется. В большинстве конкретных задач бывает достаточно ограничиться вычислением двух-трех первых приближений. Приведем примеры.
Пример 4. Рассмотрим уравнение Дуффинга (7). Для первого приближения получаем уравнение
Так как
то из условия отсутствия гармоник
в правой части получаем
Тогда уравнение принимает вид
и его решение, не содержащее гармоник
равно
Уравнение для второго приближения имеет вид
Так как
то, приравнивая нулю коэффициенты при
и
получаем
Далее
Окончательно получаем
Функции а, имеют вид
В этом примере амплитуда а почти постоянна, а фаза
пропорциональна времени
Пример 5. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля со слабой нелинейностью:
Имеем
Следовательно,
Далее,
Следовательно,
Найдем амплитуду а и фазу
Имеем
и, отбрасывая остаточный член, получаем
где
— постоянная.
Из уравнения
находим
где
— постоянная. Первое приближение имеет предельный цикл — окружность радиуса 2 с центром в начале координат, причем при
фазовая траектория с экспоненциальной скоростью приближается к этому циклу.
Сравнение данного примера с примером 3 показывает, насколько более точный результат получен здесь.
Можно показать, что если взять отрезок ряда (14)
то при всех
справедлива оценка
где постоянная
не зависит от
и е. Следовательно, функция
приближенно (с точностью до
равна истинному решению на большом отрезке времени
Доказательство см. в [9].