2. Предельное поведение траекторий.

усть — решение системы (1) с данными Коши Это решение либо определено при всех либо не при всех (т. е. за конечное время фазовая траектория может уйти на бесконечность — см. гл. 1; § 2, пример 1). Будем предполагать, что имеет место первый случай. Для этого достаточно заменить систему (1) системой

где Скорость точек, движение которых описывается системой (4), всюду не превосходит единицы, и точка не может за конечное время уйти на бесконечность, а фазовые траектории систем (1) и (4) совпадают.

Пусть — фазовая траектория системы (1). Часть траектории заданная этими уравнениями при называется положительной (отрицательной) полутраекторией. Точка называется сопредельной точкой траектории 7, если существует последовательность моментов времени такая, что Точно так же вводится понятие а-предельной точки (в этом случае Множество всех сопредельных (-предельных) точек называется сопредельным (а-ппедельным) множеством траектории 7.

Сформулируем основные результаты о предельном поведении траекторий системы (1), принадлежащие И. Бендиксону и А. Пуанкаре. Доказательства см. в [28].

Пусть положительная полутраектория содержится в компакте ограниченной области на плоскости, и пусть в имеется лишь конечное число положений равновесия системы (1). Тогда справедлива

Теорема 2. Предельное множество имеет один из следующих видовх

1°. — точка (положение равновесия). Тогда стремится к этой точке при .

2°. — замкнутая кривая (цикл).

3°. состоит из конечного числа положений равновесия и множества траекторий, которые стремятся к этим точкам при

В частности, множество состоит из конечного числа траекторий. Аналогичную структуру имеет множество

Теорема 3. Пусть у — замкнутая траектория, в некоторой окрестности которой нет других замкнутых траекторий. Тогда все траектории, которые начинаются достаточно близко. от спиралевидно приближаются к у или при или при

Такая траектория называется предельным циклом. Эти циклы могут быть трех видов:

1°. Устойчивые — близкие траектории при навиваются на цикл (рис. 33, а).

2°. Неустойчивые — при траектории отходят от цикла (рис. 33, б).

3°. Полу устойчивые — при траектории, лежащие по одну сторону от цикла, навиваются на него, а по другую — отходят от цикла (рис. 33, в).

Рис. 33.