2. Гамильтонова форма уравнений механики.

Напомним принцип наименьшего действия (§ 5). Пусть положение механической системы в момент времени задается вектор-функцией функция Лагранжа этой системы. Тогда уравнения движения системы определяются из условия где — действие:

и имеют вид

Функции

называются в механике обобщенными импульсами. Если материальная точка массы движется в трехмерном пространстве в потенциальном поле с потенциальной энергией то функция Лагранжа равна

В этом случае т. е. обобщенные импульсы совпадают с импульсами.

Функцию Лагранжа можпо рассматривать как функцию от координат (обобщепных) импульсов и времени Действительно, рассмотрим соотношения (13) как систему уравнений относительно неизвестных считая известными координаты импульсы и время По теореме о неявной функции (гл. 2, § 9) из этой системы уравнений с неизвестными можно локально выразить через известные величины, если отличен от нуля следующий определитель:

В дальнейшем предполагается, что это условие выполнено и все последующие рассмотрения носят локальный характер. Тогда функцию Лагранжа можно рассматривать как функцию от

Введем функцию Гамильтона

где рассматриваются как функции от и выясним», как преобразуются уравнения движения (12) при переходе к этим переменным. Вычислим используя инвариантность первого дифференциала относительно выбора независимых переменных. Имеем

Дифференциал равен

и в силу (13) это выражение равно

При подстановке (18) в (17) члены, содержащие взаимно уничтожаются, и мы получаем

Сравнивая это выражение с (16), получаем

Используя эти соотношения, уравнения Эйлера (12) можно записать в виде

Эта система из уравнений первого порядка, эквивалентная системе (12), называется канонической (или гамильтоновой) системой уравнений. Всякому функционалу вида отвечает каноническая система уравнений.

Поясним механический смысл функции Гамильтона на примере частицы, движущейся в потенциальном поле. Функция Лагранжа имеет вид (14), так что и из (15) находим

Функция Лагранжа есть разность между кинетической Т и потенциальной энергией механической системы; в данном примере т. е. Н — полная энергия системы. Такой же смысл имеет функция Гамильтона для произвольных механических систем. Напомним, что если Н не зависит от то Н — первый интеграл системы (19) (гл. 4, § 4), так что вдоль фазовой траектории функция Гамильтона постоянна.