3. Функции от матриц.

Рассмотрим степенной ряд

сходящийся при Матричная функция от квадратной -матрицы А определяется по формуле

Этот ряд сходится, если что следует из оценки

Тем самым определены такие функции от матриц, как

(последние две при условии Из (6) следует, что

и это позволяет свести вычисление функций от матриц в вычислению скалярных функций.

Если матрица А приводится матрицей Г к диагональ ному виду, то

Пусть — жорданов блок порядка с диагональными элементами, равными (см. (10)). Тогда

Действительно, элемент матрицы с индексами имеет, в силу (10), вид

Фунщию можно определить как матрицу такую, что Таких матриц бесконечно много; например,

если Отметим один важный частный случай.

Если А — вещественная симметрическая (или эрмитова) положительно определенная матрица, то существует единственная матрица с теми же свойствами. Она имеет вид.

Здесь — собственные значения матрицы А, все корни положительны: и Г—матрица, приводящая матрицу к диагональному виду.

Рассмотрим систему из уравнений

А - вещественная симметрическая положительно определенная матрица. Всякое решение этой системы имеет вид

Здесь описанный выше квадратный корень и — произвольные постоянные векторы. Действительно,

и первое слагаемое из правой части в (20) удовлетворяет системе (19). Аналогично доказывается, что второе слагаемое также будет решением системы. Ниже будет показано, что формула (20) дает все решения системы (191,

Вещественные решения системы (20) имеют вид

где — постоянные вещественные векторы.

Пусть где — диагональная матрица с диагональными элементами пусть — ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А. Используя формулы (16), (20) можно выразить решения через но проще сделать подстановку Тогда система (19) примет вид

т. е. распадается на независимых уравнений

Интегрируя эти уравнения, получаем

откуда следует, что всякое решение системы (19) имеет вид

где — произвольные постоянные.