2. Толчки. Принцип Дюамеля.

Рассмотрим уравнение

где постоянная, функции непрерывны на всей оси, для простоты. При функция удовлетворяет однородному уравнению

Покажем, что если — решение уравнения (10), то удовлетворяет уравнению (11) при и следующим краевым условиям:

Здесь обозначено

Действительно, решение непрерывно на полуосях Далее, эта функция должна быть непрерывна при в противном случае производная была бы суммой обычной функции и функции (см. 3°), а функция содержала бы слагаемое и потому левая часть уравнения (10) не совпала бы с правой. Итак, но производная может иметь конечный скачок в точке Проинтегрируем обе части уравнения (10) по интервалу тогда получим

Перейдем в этом равенстве к пределу при , тогда интеграл обратится в нуль (подынтегральная функция ограничена) и мы получим

Тем самым условие (12) получено.

Если рассматривать как координату точки, движущейся по оси х, то соотношения (12) означают, что в момент времени координата точки не меняется, а скорость получает конечное приращение V. Такое воздействие на точку называется в механике и физике толчком (или мгновенным удйром); например, это резкий удар кием по биллиардному шару).

Толчок можно получить как результат предельного Перехода. Рассмотрим уравнение

где при Правая часть есть большая постоянная сила действующая малое время, причем так, что интеграл (импульс конечен). Решив это уравнение и перейдя к пределу при получим, что предельная функция будет решением уравнения (10). Но ценность дельта-функции в том и состоит, что ее

применение позволяет избежать необходимости каждый раз совершать предельный переход — этот предельный переход содержится в самом определении дельта-функции (см. (7)).

Найдем результат воздействия толчка. Рассмотрим задачу Коши

для уравнения (11), и пусть — решение этой задачи, определенное при — Положим

где — решение уравнения (10) с данными Коши (13). Тогда для функции получим задачу Коши

Кроме того,

Функция — это результат воздействия единичного толчка (т. е. ) на систему. Заметим, что не зависит от данных Коши (13) (т. е. не зависит от того, как двигалась точка при ).

Функция называется функцией Грина уравнения (10) и может быть найдена, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения Так как удовлетворяет этому уравнению при то

где — постоянные. Данные Коши (15) приводят к системе уравнений

откуда находятся и мы получаем

Здесь — вронскиан решений При имеем

Отметим также, что есть решение уравнения

равное нулю при

Если функция Грина известна, то можно найти решение неодйородного уравнения

с любой (непрерывной) правой частью

Теорема. Функция

удовлетворяет уравнению (19) при и нулевым данным Коши при

Прежде чем привести строгое доказательство, приведем формальное. Так как при то

Формально дифференцируя под знаком интеграла, получаем

так что — решение уравнения (19).

Теперь строгое доказательство. Имеем Далее,

Так как , то

так что

поскольку подынтегральное выражение равно нулю (см. (15)).

Правая часть формулы (20) — это континуальная (т. е. непрерывная) сумма толчков. Они совершаются в момент ты времени с плотностями где пробегает интервал Итак, результат воздействия на частицу непрерывно действующей силы эквивалентен воздействию континуальной суммы последовательных толчков. Этот факт (а точнее, формула называется принципом Дюамеля.

Замечание 1. Формулы (20), (17), дающие частное решение уравнения (19), совпадают с полученными в § 7 формулами (16) для частного решения неоднородного уравнения второго порядка.

Замечание 2. Рассмотрим нелинейное уравнение с дельта-функцией в правой части:

Тем же способом, что и выше, можно показать, что удовлетворяет уравнению

при условиям (12) при

Приведем аналогичные результаты для линейного уравнения -го порядка

где коэффициенты непрерывны на всей прямой, для простоты. Тогда функция удовлетворяет однородному уравнению

при условиям

В данном случае функция Грина есть решение задачи Коши

равное нулю при Функция

при удовлетворяет неоднородному уравнению

и данным Коши

Замечание 3. Рассмотрим систему из уравнений

Здесь непрерывные -матрицы и V — постоянный -вектор. Тогда решение удовлетворяет однородной системе при и соотношениям (12). Роль функции Грина играет -матрица — матрица Грина, которая при есть решение задачи Коши

и равна нулю при Здесь — нулевая и единичная -матрицы. Теорема 1 остается в силе (в формуле (20), есть -вектор), но формула (17) уже не имеет песта.