2. Комплексные корни.

Обозначим тогда Пусть — собственный вектор матрицы . Тогда — собственный вектор, отвечающий . Всякое решение системы (1) имеет вид (2), а всякое вещественное решение — вид

Здесь С — произвольная комплексная постоянная. Вещественность решения (5) очевидна: каждая компонента вектора — сумма двух комплексно сопряженных чисел. Нетрудно доказать и обратный факт: всякое вещественное

решение можно записать в виде (5). Положим

где числа а, и векторы вещественны. Тогда

I. Центр: (оба корня чисто мнимые).

В этом случае

где обозначено Фазовые траектории-эллипсы (рис. 9). Направление обхода эллипса зависит от знака (здесь

Рис. 9.

Рис. 10.

II. Фокус: .

A. Устойчивый фокус:

Уравнения траекторий имеют вид

и траектории являются спиралями, которые закручиваются в начало координат при (так как ). Направление закручивания спирали зависит от знака (рис. 10).

B. Неустойчивый фокус:

Фазовый портрет системы точно такой же, как и на рис. 10, но при точка уходит по спирали на бесконечность.

Сведем систему (1) к одному уравнению, поделив второе уравнение на первое. Обозначим тогда получим уравнение вида

и пусть Если в некоторой точке отличен от нуля знаменатель (числитель) дроби из правой части уравнения (6), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая вида (соответственно, ). Точка является особой (подробнее см. гл. 2, § 10). Таким образом, выше мы исследовали структуру интегральных кривых уравнения (6) в окрестности особой точки.