§ 8. Устойчивость по линейному приближению
1. Линеаризация.
Пусть а — положение равновесия автономной системы
из 
уравнений. Вектор-функция 
предполагается дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности 
точки а.
Разложим вектор-функцию по формуле Тейлора:
где 
— матрица Якоби (гл. 2, § 9); ее элементы равны 
Далее
Следовательно, 
если точки 
а достаточно близки. Отбросим в разложении (2) вектор-функции 
нелинейные члены, квадратичные по 
Тогда получим линейную систему
Здесь 
. Система (4) называется линеаризованной (для системы (1) в окрестности положения равновесия а), а переход от нелинейной системы (1) к линейной системе (4) называется линеаризацией.
Линеаризованная система (4) — это линейная система с постоянными коэффициентами; она интегрируется, и потому устойчивость положения равновесия 
полностью исследована. Замечательно то, что по структуре положения равновесия линеаризованной системы можно (хотя и не всегда) судить об устойчивости положения равновесия нелинейной системы.
