§ 2. Основные оценки

1. Преобразование уравнения.

Рассмотрим уравнение

на интервале конечном или бесконечном.

Предположение 1. Функция имеет две непрерывные производные и не обращается в нуль при

Уравнение (1) эквивалентно Системе

Напомним обозначение (§

Прямой выкладкогй доказывается Лемма. Преобразование

приводит систему (2) к виду

Поясним смысл и конструкцию преобразования (4) на примере уравнения

где — большой параметр. Так как в данном случае, то и матрица системы (5) диагональная, с точностью до малых членов порядка

Система (2) имеет вид

Будем вначале искать преобразование приводящее систему к почти диагональному виду с точностью до Эта подстановка приводит к системе

откуда видно, что в качестве следует взять матрицу, приводящую матрицу к диагональному виду. Собственные значения этой матрицы равны различны при всех так как собственные векторы (столбцы) равны так что можно положить Тогда получим систему

где — диагональная матрица с диагональными элементами Итак, система приведена к диагональному виду с точностью до членов порядка Чтобы диагонализовать ее с точностью до сделаем подстановку как

то полученная система примет вид

Матрицу можно найти из условия, чтобы заключенная в круглые скобки матрица была диагональной. Эти соображения и приводят к подстановке (4).