§ 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

1. Уравнения n-го порядка.

Рассмотрим неоднородное скалярное уравнение порядка

и соответствующее однородное уравнение

Предпол ожение. Коэффициенты уравнения и правая часть непрерывны на отрезке I.

Перенесем на это уравнение все результаты §§ 4—6. Определителем Вронского (или вронскианом) системы функций называется определитель

1°. Если , то функции линейно независимы.

Допустим противное; тогда существуют постоянные не равные нулю одновременно и такие, что

Дифференцируя это тождество, получаем

Следовательно, столбцы вронскиана линейно зависимы и потому Это противоречит предположению

2°. Пусть — решения однородного уравнения (2). Если их вронскиан обращается в нуль хотя бы в одной точке, то эти функции линейно зависимы.

Пусть тогда столбцы вронскиана линейно зависимы, так что

где числа не все равны нулю. Функция

есть решение уравнения (2) с данными Коши

По теореме единственности и потому решения линейно зависимы.

Для произвольных гладких функций утверждение 2е неверно.

Пример 1. Рассмотрим функции

которые непрерывно дифференцируемы на всей оси. Вронскиан этих функций тождественно равен нулю; тем не менее, они линейно независимы. Действительно, пусть

Полагая получаем полагая получаем Следовательно, функции линейно независимы.

Сведем уравнение (2) к эквивалентной системе линейных уравнений точно так же, как и в § 1, п. 3;

3°. Пусть — вектор-функции с компонентами Тогда этот набор вектор-функций и набор функций одновременно линейно зависимы или линейно независимы.

Если функции линейно зависимы, то выполняется тождество (4), где не все постоянные равны нулю. Дифференцируя это тождество по получаем (5), и в сочетании с (4) это показывает, что вектор-функции линейно зависимы. Если

вектор-функции линейно зависимы, то

где не все числа с равны нулю. Выписывая первую компоненту в этом тождестве, получаем (4), т. е. функции линейно зависимы.

Итак, линейная зависимость набора функций (вектор-функций) влечет за собой линейную зависимость набора вектор-функций (функций). Переходя в этом утверждении к отрицанию, получаем то же относительно линейной независимости.

Фундаментальной системой решений уравнения (2) называется набор из линейно независимых решений.

4°. Фундаментальные системы решений уравнения (2) существуют.

Пусть — фундаментальная система решений системы (6). Так как эти вектор-функции линейно независимы, то линейно независимы их первые компоненты — функции в силу 3°, и потому они образуют фундаментальную систему решений уравнения (2).

5°. Пусть — фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда всякое решение этого уравнения имеет вид

— произвольные постоянные.

По каждой функции построим вектор-функцию по формуле (6). Вектор-функции линейно независимы, в силу 3°, и потому образуют фундаментальную систему решений системы (6). Поэтому всякое решение этой системы имеет вид теорема 2)

Приравнивая в этом тождестве первые компоненты векторов, получаем (7).

6°. Пусть — решения однородного уравнения (2) и — их вронскиан. Справедлива формула Лиувилля:

Действительно, если матрица (6), то и из формулы Лиувилля (§ 4) следует (8).

7°. Построим частное решение неоднородного уравнения (1). Введем матрицу-функцию:

которая является фундаментальной матрицей системы (6), и вектор-функцию Уравнение (1) эквивалентно системе

Ее частное решение дается формулой (1), § 6, так что частное решение уравнения (1) можно взять в виде

Индекс 1 означает, что берется первая компонента этой вектор-функции.